[論文レビュー] Limit theorems for radial random walks on pxq-matrices as p tends to infinity

Margit Rösler, Michael Voit|ArXiv.org|Mar 18, 2007

Random Matrices and Applications参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、$p \to \infty$ のとき $p \times q$-行列上の径路的ランダムウォークについて、弱大数法則および強大数法則、さらに大偏差原理を確立する。これは、インデックス $\mu \to \infty$ の行列引数をもつ修正ベッセル関数の漸近解析を用いる。主な結果として、$p_k$ および $n_k$ に強い成長条件を課すと、正規化されたユークリッドノルム $\|S_{n_k}^{p_k}\| / \sqrt{n_k}$ がほとんど確実に $\sqrt{\sigma^2(\nu)}$ に収束することを示し、古典的な極限定理を高ランク行列空間へ拡張する。

ABSTRACT

The radial probability measures on $R^p$ are in a one-to-one correspondence with probability measures on $[0,\infty[$ by taking images of measures w.r.t. the Euclidean norm mapping. For fixed $ν\in M^1([0,\infty[)$ and each dimension p, we consider i.i.d. $R^p$-valued random variables $X_1^p,X_2^p,...$ with radial laws corresponding to $ν$ as above. We derive weak and strong laws of large numbers as well as a large deviation principle for the Euclidean length processes $S_k^p:=\|X_1^p+...+X_k^p\|$ as k,p o\infty in suitable ways. In fact, we derive these results in a higher rank setting, where $R^p$ is replaced by the space of $p imes q$ matrices and $[0,\infty[$ by the cone $Π_q$ of positive semidefinite matrices. Proofs are based on the fact that the $(S_k^p)_{k\ge 0}$ form Markov chains on the cone whose transition probabilities are given in terms Bessel functions $J_μ$ of matrix argument with an index $μ$ depending on p. The limit theorems follow from new asymptotic results for the $J_μ$ as $μ o \infty$. Similar results are also proven for certain Dunkl-type Bessel functions.

研究の動機と目的

• $p \to \infty$ のとき $p \times q$-行列上の径路的ランダムウォークについて、弱大数法則および強大数法則、さらに大偏差原理を導出すること。
• $\mathbb{R}^p$ からの古典的極限定理を、$\mathbb{F} = \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{H}$ である $M_{p,q}(\mathbb{F})$ のような高ランク行列空間へ拡張すること。
• $\mu \to \infty$ のとき行列引数をもつベッセル関数 $J_\mu$ の漸近的挙動を解析すること。これは、Markov連鎖 $S_k^p$ の遷移核を支配する。
• $p_k$ および $n_k$ の列について、正規化されたウォーク長 $\|S_{n_k}^{p_k}\| / \sqrt{n_k}$ がほとんど確実に $\sqrt{\sigma^2(\nu)}$ に収束するような条件を確立すること。
• $p_k$ が指数関数的成長を示すとき、$\|S_{n_k}^{p_k}\|^2$ に対して大偏差原理を確立すること。レート関数は、極限測度 $\nu$ の自由エネルギーから導かれる。

提案手法

• $U_p$-作用に関して不変な分布をもつ i.i.d. 増分を用いて、$p \times q$-行列上の径路的ランダムウォークをモデル化し、問題を正定値行列の錐 $\Pi_q$ に還元する。
• $S_k^p = \|X_1^p + \cdots + X_k^p\|$ のノルム過程の遷移確率を、$p$ に依存するインデックス $\mu$ をもつ行列引数のベッセル関数 $J_\mu$ で表現する。
• $\mu \to \infty$ のときの $J\_\mu$ の漸近展開を用いて、モーメント母関数の収束を導出し、それによって極限定理を得る。
• 自由エネルギー関数 $c(t) = \ln \int e^{ts^2} d\nu(s)$ を用いて大偏差理論を適用し、これは $\frac{1}{n_k} \ln \mathbb{E}[e^{t(S_{n_k}^{\mu_k})^2}]$ の極限から得られる。
• $J_\mu$ の境界とコンパクト集合上での一様推定を用いてモーメント母関数の収束を確立し、Dunkl型ベッセル関数の極限における構造を活用する。
• Borel-Cantelli の補題と $J_\mu$ の漸近的挙動から得られる指数的モーメントの境界を用いて、ほとんど確実収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \to \infty$ のとき、$\|S_{n_k}^{p_k}\| / \sqrt{n_k}$ が $\sqrt{\sigma^2(\nu)}$ にほとんど確実に収束するための $p_k$ および $n_k$ の成長条件は何か？
• RQ2 $\mu \to \infty$ のときの行列ベッセル関数 $J_\mu$ の漸近的挙動は、$p \times q$-行列上の径路的ランダムウォークの極限挙動をどのように支配するか？
• RQ3 $p_k$ が指数関数的成長より速い場合に、$\|S_k^p\|^2$ に対して大偏差原理を確立できるか？
• RQ4 スケーリングされたノルム過程の極限自由エネルギー関数 $c(t)$ は何か？ そして、i.i.d. 実数値確率変数に対する古典的 Cramér の大偏差原理とどのように関係するか？
• RQ5 1ランクの場合（$q=1$）から高ランク行列空間（$q \geq 2$）へ結果を拡張するにはどうすればよいか？ また、漸近的解析における構造的差異は何か？

主な発見

• 任意の列 $p_k \to \infty$ に対して、正規化されたウォーク長 $\|S_k^{p_k}\| / \sqrt{k}$ は確率的に $\sqrt{\sigma^2(\nu)}$ に収束する。これは、古典的大数法則を行列設定へ拡張するものである。
• 強い成長条件（任意の $a \in \mathbb{N}$ に対して $p_k / k^a \to \infty$、$p_k / (n_k^2 (\ln k)^2) \to \infty$、および $n_k / (\ln k)^2 \to \infty$）の下で、正規化されたウォーク長 $\|S_{n_k}^{p_k}\| / \sqrt{n_k}$ はほとんど確実に $\sqrt{\sigma^2(\nu)}$ に収束する。
• $p_k$ が指数関数的成長より速く成長するとき、$\|S_{n_k}^{p_k}\|^2$ に対して大偏差原理が成り立つ。レート関数は $I(s) = \sup_{t \in \mathbb{R}} (st - c(t))$ で与えられ、ここで $c(t) = \ln \int e^{ts^2} d\nu(s)$ である。
• $\|S_{n_k}^{p_k}\|^2$ のモーメント母関数は $k \to \infty$ のとき $\exp(n_k c(t))$ に収束する。ここで $c(t)$ は極限測度 $\nu$ の自由エネルギーに等しく、古典的 Cramér 理論と整合的であることが確認される。
• $J_\mu$ の $\mu \to \infty$ における漸近的解析は証明の中心的役割を果たす。コンパクト集合上での一様推定と指数的減衰の制御により、生成関数の収束が可能になる。
• $q \geq 1$ のときの強大数法則は、$e^{a n_k} / \mu_k \to 0$（任意の $a > 0$）を満たす $\mu_k$ の条件のもとで成り立つ。これは、$\mu_k$ が非常に速く成長しても収束が安定であることを示している。