[論文レビュー] Limit theorems for random walks in dynamic random environment

Frank Redig, Florian Völlering|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、環境の混合性に関するカップリングに基づく条件を導入することで、動的確率環境におけるランダムウォークの極限定理を確立する。この条件下で、環境過程は強いエルゴード性および濃縮性を有し、Walkerの位置に関する大数の法則、中心極限定理、アインシュタイン関係、再帰性／非再帰性の基準を厳密に証明することが可能になる。また、ジャンプレートに連続的に依存する。

ABSTRACT

We study a general class of random walks driven by a uniquely ergodic Markovian environment. Under a coupling condition on the environment we obtain strong ergodicity properties and concentration inequalities for the environment as seen from the position of the walker, i.e the environment process. We also obtain ergodicity of the uniquely ergodic measure of the environment process as well as continuity as a function of the jump rates of the walker. As a consequence we obtain several limit theorems, such as law of large numbers, Einstein relation, central limit theorem and concentration properties for the position of the walker.

研究の動機と目的

• 環境が一意的エルゴード的かつ十分に速く混合する場合に、動的確率環境におけるランダムウォークの極限定理を確立すること。
• 環境のエルゴード性および混合性を、Walkerの位置から見た環境過程へと移すこと。
• Walkerの位置のための濃縮不等式を導出するための、バックワードマルティンゲールに基づく新しい形式主義を構築すること。
• 漸近的スピードおよび共分散行列がジャンプレートに連続的に依存することを証明すること。
• 1次元における再帰性および非再帰性の基準を、漸近的スピードの符号に基づいて導出すること。

提案手法

• 環境に対して、初期状態間の距離が十分に速く減少するカップリング条件を導入し、$ t^d $ 倍したものが時間に関して可積分になるようにする。
• カップリング条件を用いて、環境過程が同様に可積分な減少を示すカップリングを有することを証明し、$ t^d $ 要因の損失を最大限に抑える。
• 非時定型バックワードマルティンゲールの新規形式主義を適用し、環境過程の加法的関数への指数モーメントの上限および濃縮不等式を導出する。
• 環境過程をマルコフ過程として確立し、そのエルゴード性を用いてWalkerの位置をマルティンゲールと制御可能な加法的関数に分解する。
• 付録でマルティンゲールアプローチを用いて、Walkerの位置のための関数的中心極限定理および分散制御を証明する。
• 濃縮不等式を用いて、$ d=1 $ における再帰性・非再帰性の結果を導出し、漸近的スピードがゼロか非ゼロかに応じて分ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的環境にどのような条件下で、環境過程が強いエルゴード性および混合性を有するか。
• RQ2 Walkerの位置が環境過程の標準的加法的関数でない場合に、その位置のための濃縮不等式をどのように厳密に導出できるか。
• RQ3 動的環境におけるランダムウォークのための大数の法則および中心極限定理が成立する条件は何か。
• RQ4 Walkerの漸近的スピードがウォークのジャンプレートに連続的に依存する条件は何か。
• RQ5 1次元における再帰性または非再帰性は、何によって決定され、環境の混合性およびエルゴード性とどのように関連するか。

主な発見

• カップリング条件のもとで、環境過程は環境のエルゴード性および混合性を有し、減少率は最大で $ t^d $ 要因の損失を伴う。
• Walkerの位置に対して大数の法則が成立し、漸近的スピードはウォークのジャンプレートに連続的に依存する。
• 関数的中心極限定理が確立され、環境過程の分散から制御可能な漸近的共分散行列が導出される。
• アインシュタイン関係が証明され、スピードの環境への摂動に対する微分が拡散行列と関連づけられる。
• バックワードマルティンゲールを用いた濃縮不等式により、Walkerの位置のための厳密な再帰性および非再帰性の結果が得られる。
• 1次元では、漸近的スピードがゼロであれば再帰的であり、非ゼロであれば非再帰的である。これは、与えられたカップリングおよびエルゴード性の仮定のもとで成立する。