[論文レビュー] Limit theorems for random walks on Fuchsian buildings and Kac-Moody groups

Lorenz A. Gilch, Sebastian Mueller+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、錐型と強連結なオートマトンを用いて構築された再生構造を用いて、Fuchsian建物および関連するKac-Moody群上の等方的ランダムウォークの脱出速度と中心極限定理を確立する。主な貢献は、再帰的技法とオートマトンに基づく解析を通じて、平面的でない、高ランクの建物へと平面的双曲的結果を拡張した明示的な速度および漸近分散の公式の導出である。

ABSTRACT

In this paper we prove a rate of escape theorem and a central limit theorem for isotropic random walks on Fuchsian buildings, giving formulae for the speed and asymptotic variance. In particular, these results apply to random walks induced by bi-invariant measures on Fuchsian Kac-Moody groups, however they also apply to the case where the building is not associated to any reasonable group structure. Our primary strategy is to construct a renewal structure of the random walk. For this purpose we define cones and cone types for buildings and prove that the corresponding automata in the building and the underlying Coxeter group are strongly connected. The limit theorems are then proven by adapting the techniques in [21]. The moments of the renewal times are controlled via the retraction of the walks onto an apartment of the building.

研究の動機と目的

• 双曲的およびリー群の設定における中心極限定理を、Fuchsian建物およびKac-Moody群へと拡張すること。
• 非アフィン的かつ非球面型の建物上の等方的ランダムウォークに対して、脱出速度および中心極限定理を確立すること。
• 錐型とオートマトンを用いて、建物上のランダムウォークの再生構造を構築すること。
• さまざまなコクセター群のタイプに対して、関連するキャンンオートマトンの強連結性を証明すること。
• アパートへの再帰を用いて再生時間のモーメントを制御し、極限定理の成立を可能にすること。

提案手法

• Fuchsian建物における錐および錐型を定義し、再生過程を構築する。
• コクセター群上の関連オートマトンが、いくつかの例外的ケースを除きすべてのケースで強連結であることを証明する。
• ランダムウォークをアパートへ再帰させることで、再生時間のモーメントを制御する。
• Haissinski, Mathieu, および Müller (2013) が平面的表面群に用いた技法を、非平面的建物へと適応する。
• コクセター群および建物の代数的・幾何的性質を用いて、錐型遷移を分析する。
• パス構成を用いて、4つの三角形コクセター群のクラスにおいてオートマトンの強連結性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面的または双曲的設定を超えたFuchsian建物上のランダムウォークに対して、中心極限定理を確立できるか？
• RQ2 コクセター群にどのような条件を課すと、錐型オートマトンが強連結になるか？
• RQ3 等方的ランダムウォークの速度および漸近分散を、どのように明示的に計算できるか？
• RQ4 表面群における再生理論の技法を、高ランクの建物へどの程度一般化できるか？
• RQ5 アパートへの再帰が、再生時間のモーメントを制御する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 脱出速度定理が証明され、Fuchsian建物上の等方的ランダムウォークの速度を明示的な公式で与える。
• 中心極限定理が確立され、ウォークの漸近分散を表す公式が得られる。
• 三角形タイプのコクセター群のうち、有限個を除き、建物の錐型に付随するキャンンオートマトンは強連結である。
• 錐型を用いた再生構造が成功裏に構築され、極限定理の技法の適用が可能になった。
• ウォークをアパートへ再帰させることで、再生時間のモーメントを効果的に制御できるようになった。
• 得られた結果は、Kac-Moody群から生じる建物に限らず、群構造を持たない一般のFuchsian建物に対しても適用可能である。