[論文レビュー] Limit theorems for sequences of random trees

David J. Balding, Pablo A. Ferrari+2 more|ArXiv.org|Jun 14, 2004

Data Management and Algorithms参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、根付き木のコンパクトな距離空間におけるi.i.d.な確率的木の列に対して、大数の法則と不変性原理を確立する。d-平均木は、期待距離を最小化するものとして定義され、その推定に用いられる。また、経験過程の上界に関するKolmogorov-Smirnov型適合度検定を提案し、導出されたネットワークにおける最小カットアルゴリズムを用いた計算的に効率的な実装により、平均木が同一である場合でさえも、木の分布に関する統計的推論が可能となる。

ABSTRACT

We consider a random tree and introduce a metric in the space of trees to define the ``mean tree'' as the tree minimizing the average distance to the random tree. When the resulting metric space is compact we have laws of large numbers and central limit theorems for sequence of independent identically distributed random trees. As application we propose tests to check if two samples of random trees have the same law.

研究の動機と目的

• 距離空間内での平均距離の最小化として定義されるd-平均木を用いて、確率的木の列に対する統計的ツールの開発。
• コンパクトな距離空間におけるi.i.d.な確率的木の列に対して、強い大数の法則と不変性原理の確立。
• 経験過程の上界を用いた、木の分布に対する普遍的な適合度検定の提案。
• ネットワークにおける最小カット問題への変換により、検定統計量の実用的計算を可能にする。
• シミュレートされたGalton-Watson木と実際のFGFタンパク質スーパーファミリーのデータを用いた手法の妥当性の検証。

提案手法

• 頂点をインデックスづけする有限列の集合Ṽを用いて、{0,1}^Ṽ 上の積位相を用いて根付き木の距離空間を定義する。
• ν-平均を、法則νに従う確率的木とのν-平均距離を最小化する木として定義する。
• コンパクト性と一意性の下で、経験的d-平均がほとんど確実に真のd-平均に収束することを証明する。
• メジャライジング測度条件とLedoux-Talagrand定理を用いて、(gₙ(y) − g(y)) の過程に対する不変性原理を確立する。
• y ∈ T における |gₙ(y) − g(y)| の上界としての検定統計量を構成し、帰無仮説からの逸脱を測定する。
• 上界の計算を、導出されたネットワークにおける最小カット問題に変換し、グラフアルゴリズムを用いて効率的な計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 距離空間におけるi.i.d.な確率的木の列に対して、大数の法則と不変性原理を確立できるか？
• RQ2 d-平均は、確率的木の背後にある分布に対する一貫した推定量を提供するか？
• RQ3 木の空間上での経験過程の上界は、適合度検定の有効な統計量として適切か？
• RQ4 大木に対して、この検定統計量の計算は現実的か？ また、既知の組合せ最適化問題に還元可能か？
• RQ5 平均木が同一であっても、異なる木生成プロセスを同定できるか？

主な発見

• コンパクト性と一意性の下で、経験的d-平均はほとんど確実に真のd-平均に収束し、推定量の一貫性が確立される。
• 過程 (gₙ(y) − g(y)) に対して不変性原理が成り立ち、上界の逸脱の漸近的分布が既知であることを示す。
• 帰無仮説の下で、検定統計量 sup_y |gₙ(y) − g(y)| は分布に依存せず、Kolmogorov-Smirnov型検定に適している。
• 上界の計算は、導出されたネットワークにおける最小カット問題に還元され、多項式時間で計算可能となる。
• 本手法は、平均木が同一であっても、異なるGalton-Watsonプロセスを区別でき、FGFタンパク質スーパーファミリーを正しく分類できた。
• 与えられた距離の下での木の空間は負の曲率をもたないため、系統的木空間のようなCAT(0)空間とは区別される。