[論文レビュー] Limit Theorems For Sequences of Tempered Stable and Related Distributions

Michael Grabchak|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、弱収束の下での閉包として得られる $p$-tempered $\alpha$-安定分布 ($TS^{p}_{\alpha}$) のクラスの拡張として、拡張された $p$-tempered $\alpha$-安定分布 ($ETS^{p}_{\alpha}$) を導入する。このクラス内での弱収束の必要十分条件を確立し、任意の $d$-次元 $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布が、基本的な $p$-tempered $\alpha$-安定確率変数の線形結合によって近似可能であることを証明する。これにより、離散和を用いたシミュレーションが可能になる。

ABSTRACT

In this paper we define the closure under weak convergence of the class of p-tempered α-stable distributions. We give necessary and sufficient conditions for convergence of sequences in this class. Moreover, we show that any element in this class can be approximated by the distribution of a linear combination of elementary p-tempered α-stable random variables.

研究の動機と目的

• 弱収束に関して閉じた $p$-tempered $\alpha$-安定分布を含む最小の分布クラスを定義し、特徴づけること。
• $TS^{p}_{\alpha}$ クラス内の列の弱収束の必要十分条件を特定すること。
• 任意の $d$-次元 $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布が、基本的な $p$-tempered $\alpha$-安定確率ベクトルの有限線形結合によって近似可能であることを示すこと。
• $TS^{p}_{\alpha}$ クラスを、ガウス成分と非減少の尾部挙動を許容するように拡張し、$ETS^{p}_{\alpha}$ クラスに拡張すること。

提案手法

• $TS^{p}_{\alpha}$ の弱収束に関する閉包として $ETS^{p}_{\alpha}$ を定義し、ガウス成分を許容し、ロジński測度の減少条件を緩和すること。
• $\mathbb{R}^d$ のコンパactification を用いて、無限大および原点における Lévy 測度の挙動を分析すること。
• コンパクト化空間 $\bar{\mathbb{R}}^d$ 上の測度 $\nu$ を構成し、$ETS^{p}_{\alpha}$ 分布の拡張された Rosiński 測度を表現すること。
• Portmanteau 定理および劣化収束定理を用いて、近似列 $\mu_n$ が $\mu$ に弱収束することを確立すること。
• Lévy トリプレットによる特性関数の積分表現を用いて、分布収束の収束を分析すること。
• 任意の $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布が、独立な基本的 $p$-tempered $\alpha$-安定確率ベクトルの和の弱極限として生じることを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱収束に関して閉じており、$TS^{p}_{\alpha}$ を含む最小の分布クラスとは何か？
• RQ2 $TS^{p}_{\alpha}$ 分布の列が弱収束するための必要十分条件は何か？
• RQ3 任意の $d$-次元 $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布は、基本的な $p$-tempered $\alpha$-安定確率変数の線形結合によって近似可能か？
• RQ4 $\alpha \in (0,2)$ のとき、拡張クラス $ETS^{p}_{\alpha}$ はクラス $J_{\alpha,p}$ とどのように異なるか？
• RQ5 Rosiński 測度は、$TS^{p}_{\alpha}$ 列の弱極限を特徴づける上で果たす役割は何か？

主な発見

• $ETS^{p}_{\alpha}$ は $TS^{p}_{\alpha}$ の弱収束に関する閉包であり、$\alpha \in (0,2)$ のとき $J_{\alpha,p}$ を真に含む。
• $TS^{p}_{\alpha}$ 列の弱収束は、コンパクト化空間 $\bar{\mathbb{R}}^d$ 上での Rosiński 測度の収束によって特徴づけられる。
• 任意の $d$-次元 $ETS^{p}_{\alpha}$ 分布は、独立な基本的 $p$-tempered $\alpha$-安定確率ベクトルの有限和の分布によって近似可能である。
• 拡張クラス $ETS^{p}_{\alpha}$ は、ガウス成分を含み、Rosiński 測度における無限遠点での質量の非消滅を許容する。
• 近似結果により、$ETS^{p}_{\alpha}$ 確率ベクトルを i.i.d. 基本的 $p$-tempered $\alpha$-安定変数の和を用いてシミュレート可能である。
• $\alpha \leq 0$ のとき、$ETS^{p}_{\alpha}$ は $J_{\alpha,p}$ と一致するが、$\alpha \in (0,2)$ のとき $J_{\alpha,p} \subsetneq ETS^{p}_{\alpha}$ である。