[論文レビュー] Limit theorems for supercritical MBPRE with linear fractional offspring distributions

Wenming Hong, Minzhi Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、線形分数型の後代分布を有する、確率的環境下の多重型分岐過程（MBPRE）について、上昇的超臨界状態における極限定理を確立し、強超臨界と中間超臨界の2つの状態の間で局所確率に段階的転移が生じることを明らかにした。生成関数表現とランダムウォークの漸近的性質を用いて、条件付き極限定理を導出し、超臨界状態における稀な出来事（例えば、小規模な集団サイズ）の崩壊速度を定量的に特定した。

ABSTRACT

We investigate the limit behavior of supercritical multitype branching processes in random environments with linear fractional offspring distributions and show that there exists a phase transition in the behavior of local probabilites of the process affected by strongly and intermediately supercritical regimes. Some conditional limit theorems can also be obtained from the representation of generating functions.

研究の動機と目的

• 線形分数型の後代分布を有する、確率的環境下の多重型分岐過程（MBPRE）における局所確率の漸近的挙動を調査すること。
• 集団が非常に小さい確率の崩壊速度が、強超臨界か中間超臨界かに応じてどのように変化するか、その段階的転移を特定すること。
• 単一型BPREにおける稀な出来事の確率に関する結果を、生成関数表現を用いて多重型設定に拡張すること。
• 線形分数型の後代分布を仮定したもとで、生存を条件とした集団サイズ分布の条件付き極限定理を導出すること。
• 関連するランダムウォークの初到達時間に関連する確率的停止時刻における集団過程の極限分布を同定すること。

提案手法

• 線形分数型の後代分布の生成関数を用いて、確率的環境下の分岐機構をモデル化する。
• 関連する環境のランダムウォークの初到達時刻と局所確率を解析するため、ランダムウォーク理論を適用する。
• 正の行列に対するPerron-Frobenius理論を用いて、平均行列の漸近的挙動と固有ベクトルを分析する。
• 優越収束定理とモーメント推定を用いて、生存確率と条件付き確率の漸近的表現を導出する。
• ランダムウォークが特定の水準に初めて到達する時刻に対応する停止時刻 $\tau_{n}$ を導入し、この事象を条件として極限定理を導出する。
• 極限条件付き分布を特徴付ける表現式 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z}, \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l) \sim \kappa^n C(\mathbf{z},\mathbf{v}) \Psi_i(\mathbf{z}) T_l(\mathbf{z}) \mathbf{P}(L_n \geq 0)$ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形分数型の後代分布を有する超臨界MBPREにおいて、時間の経過に伴い局所確率がどのように漸近的に振る舞うか。
• RQ2 超臨界状態における小規模集団サイズの確率の崩壊速度に、どのような段階的転移が生じるか。
• RQ3 単一の個体が時刻 $n$ で生存しているという条件下で、集団サイズ分布の条件付き極限定理を確立できるか。
• RQ4 後代分布の構造（特に線形分数型）が、過程の漸近的挙動にどのように影響を与えるか。
• RQ5 環境に関連するランダムウォークの初到達時刻における集団の極限分布は何か。

主な発見

• 局所確率の崩壊速度に段階的転移が生じる：強超臨界状態と中間超臨界状態では挙動が顕著に異なる。
• 条件付き確率 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z} \mid \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l)$ は $n \to \infty$ のとき、極限確率測度 $q(\mathbf{z}) = C(\mathbf{z},\mathbf{v}) T(\mathbf{z})$ に収束する。
• 生存確率は $\mathbf{P}(L_n \geq 0) \sim n^{-(1-a)} l(n)$ の形で崩壊し、$a \in (0,1)$ であるため、環境の尾部挙動に依存するべき乗則的崩壊を示す。
• 同時確率 $\mathbb{P}_{\mathbf{e}_i}(\mathbf{Z}_{\tau_{\lfloor nt\rfloor,n}} = \mathbf{z}, \mathbf{Z}_n = \mathbf{e}_l)$ の漸近的表現は $\sim \kappa^n C(\mathbf{z},\mathbf{v}) \Psi_i(\mathbf{z}) T_l(\mathbf{z}) \mathbf{P}(L_n \geq 0)$ であり、$\kappa < 1$ である。
• 極限測度 $q(\mathbf{z})$ が $\mathbb{N}_0^K$ 上の適切な確率分布であることが示され、非退化な極限定理の存在が確認された。
• 環境のランダムウォークの寄与は、漸近的表現に現れる期待値 $\mathbf{E}_{\mu_k}^+\left[ \frac{(1 - F_{0,k}^{(i)}(\mathbf{F}_{k+1,\infty}(\mathbf{0})))^2}{u_i} \right]$ によって捉えられる。