[論文レビュー] Limit Theorems for the Left Random Walk on GLd (R)

Christophe Cuny, Jérôme Dedecker+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2016

Random Matrices and Applications参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$GL_d(\mathbb{R})$ 上の左ランダムウォークについて、$2+\varepsilon$ 階の多項式モーメント条件および駆動測度 $\mu$ の強い既約性と近接性仮定の下で、Marcinkiewicz-Zygmund の大数の法則、Wasserstein 距離における明示的な収束速度を伴う中心極限定理、および収束速度を伴うほとんど確実な不変性原理を、第3著者の博士論文の結果を拡張して確立する。主な貢献は、精密なマルティングルール近似技術とカップリング論法を用いて収束速度を導出することであり、Benoist と Quint の道具を用いて行列係数への拡張および近接性仮定の弱体化を実現する。

ABSTRACT

Motivated by a recent work of Benoist and Quint and extending results from the PhD thesis of the third author, we obtain limit theorems for products of independent and identically distributed elements of GLd (R), such as the Marcinkiewicz-Zygmund strong law of large numbers, the CLT (with rates in Wasserstein's distances) and almost sure invariance principles with rates.

研究の動機と目的

• $GL_d(\mathbb{R})$ 内の i.i.d. 行列積に対して、収束速度を伴うほとんど確実な不変性原理を確立すること。
• 行列ノルムの対数について、Wasserstein 距離における明示的収束速度を伴う中心極限定理を導出すること。
• Marcinkiewicz-Zygmund の大数の法則を、行列積の対数ノルムへ拡張すること。
• より強いモーメント仮定の下で、行列係数 $\log|\langle A_n x, y \rangle|$ の漸近的挙動を調査すること。
• Benoist と Quint の鍵となる議論を用いて、近接性仮定を弱体化させ、非近接的でも強い既約性を満たす測度へ結果を拡張すること。

提案手法

• Jan の博士論文の手法に基づく洗練されたマルティングルール近似法を用い、精密な収束速度を得るために適応する。
• コブダリィ分解を用いて、対数ノルムをマルティングルールと積分可能性が制御された剰余項の和に表現する。
• 射影空間 $X = P_{d-1}(\mathbb{R})$ 上の不変測度 $\nu$ を用いたカップリング技術を用い、ランダムウォークの平衡からの逸脱を制御する。
• 空間 $X$ 上の距離関数 $\delta$ を用いて角度の分離度を定量化し、内積の減衰と関連づけ、行列係数の挙動を制御する。
• $\log \delta(\cdot, \bar{y})$ の $L^p$ 積分可能性の下で、Borel-Cantelli の補題を適用して $\log \delta(W_n, \bar{y})$ のほとんど確実な上限を得る。
• Benoist と Quint の結果を活用し、完全収束性および $\log \delta(\cdot, \cdot)$ の不変測度に関する積分可能性を用いて、主定理を非近接的でも強い既約性を満たす測度へ拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようなモーメントおよび代数的条件下で、$\log\|A_n\|$ が Wasserstein 距離において明示的な収束速度を伴う中心極限定理を満たすか？
• RQ2 多項式モーメントが $2+\varepsilon$ 階であるという条件下で、$\log\|A_n x\|$ に対して収束速度を伴うほとんど確実な不変性原理を確立できるか？
• RQ3 より強いモーメント仮定の下で、$\log|\langle A_n x, y \rangle|$ の漸近的挙動は $\log\|A_n x\|$ の挙動とどのように比較できるか？
• RQ4 極限定理が行列ノルムおよび係数に関して保持されるように、近接性仮定をどの程度取り除けるか？
• RQ5 射影空間上での不変測度 $\nu$ は、$GL_d(\mathbb{R})$ 上のランダムウォークの収束速度を制御するために果たす役割は何か？

主な発見

• モーメント条件が $2+\varepsilon$ 階である限り、$\log\|A_n x\|$ に対して Marcinkiewicz-Zygmund の大数の法則が成り立ち、ほとんど確実な収束速度は任意の $p \in (1,2)$ に対して $o(n^{1/p})$ である。
• モーメント条件が $2+\varepsilon$ 階である限り、$\log\|A_n x\|$ の中心極限定理が、Wasserstein 距離における収束速度 $O(n^{-1/2})$ を伴って成り立ち、従来の結果を改善する。
• 同じモーメントおよび代数的条件の下で、$\log\|A_n x\|$ に対して収束速度 $O(n^{1/2} \log^{1/2} n)$ を伴うほとんど確実な不変性原理が確立される。
• モーメント条件が $p+1$ 階（$1 < p \leq 4$）である限り、$\log\|A_n\|$ の結果は行列係数 $\log|\langle A_n x, y \rangle|$ へ拡張され、同じ収束速度 $o(n^{1/p})$ がほとんど確実に成り立つ。
• 強い既約性が成り立つ限り、Benoist と Quint の完全収束性および $\log \delta(\cdot, \cdot)$ の積分可能性に関する結果を用いて、主定理から近接性仮定を除去可能である。
• $\log \delta(\cdot, \bar{y})$ が $L^p$ 積分可能である限り、$\log \delta(A_n \bar{x}, \bar{y})$ の収束速度が $o(n^{1/p})$ であることが示され、これは行列係数の漸近的挙動を制御するために必要な制御を示唆する。