[論文レビュー] Limit theorems for the typical Poisson-Voronoi cell and the Crofton cell with a large inradius

Pierre Calka, Tomasz Schreiber|Jul 22, 2005

Point processes and geometric inequalities参考文献 35被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、内接円半径（核を中心とする最大の円板の半径）が無限大に近づく条件の下で、平面における典型的なポアソン・ボロノイ胞とクロフトン胞の極限定理を確立する。ポアソン過程と単位円板内の凸包との関係を用いて、頂点数および内接円外の面積に関して、大数の法則と中心極限定理を証明し、両者が明示的な定数を伴って漸近的に r^{2/3} に比例して増大することを示す。

ABSTRACT

In this paper, we are interested in the behavior of the typical Poisson-Voronoi cell in the plane when the radius of the largest disk centered at the nucleus and contained in the cell goes to infinity. We prove a law of large numbers for its number of vertices and the area of the cell outside the disk. Moreover, for the latter, we establish a central limit theorem as well as moderate deviation type results. The proofs deeply rely on precise connections between Poisson-Voronoi tessellations, convex hulls of Poisson samples and germ-grain models in the unit ball. Besides, we derive analogous facts for the Crofton cell of a stationary Poisson line process in the plane.

研究の動機と目的

• 内接円半径 Rm が無限大に近づく際の典型的なポアソン・ボロノイ胞の漸近的挙動を理解すること。
• 頂点数および内接円外の面積に関して、明確な極限定理（大数の法則および中心極限定理）を導出すること。
• 定常ポアソン線過程によって生成されるクロフトン胞に対しても類似の結果を拡張すること。
• 典型的なポアソン・ボロノイ胞を内接円半径で条件づけたものと、単位円板内におけるポアソン点過程の凸包との間に深い関係を確立すること。
• 極めて大きな内接円半径の条件下で、幾何的機能の精密な漸近的推定値を提供し、従来の定性的な形状極限を越えること。

提案手法

• 内接円半径 r に対して、典型的なポアソン・ボロノイ胞を {Rm = r} の条件下で条件づけ、その結果得られる確率的胞 Cr を考察する。
• Cr が、原点と点過程 Φr ∪ {2r·x0} の間の垂直二等分線によって形成される線過程のゼロ胞として分布することを示すカップリング構成を用いる。ここで Φr は測度 1_{|x|>2r} dx を有する強度測度をもつ。
• Cr の頂点数 Nr と、単位円板内に強度 4r² の均一なポアソン点過程の凸包の頂点数との間で漸近的同値性を確立する。
• グローネブルム（2000）の凸包頂点の漸近的分布に関する既知の結果を活用し、Nr に対して極限定理を転送する。
• ギルバートおよびズイエフの手法によるモーメント推定および指数モーメントの境界を用いて、Nr および内接円外の面積の尾部挙動を制御する。
• 写像 I∘h1/r を用いた変換により、内接円外の面積の分布を、変換された強度測度を持つ単位円板内におけるポアソン過程に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 内接円半径 r が無限大に近づくとき、典型的なポアソン・ボロノイ胞の頂点数はどのように振る舞うか？
• RQ2 r → ∞ のとき、D(0,r) の外側にある胞の面積の漸近的分布は何か？
• RQ3 大規模な内接円半径条件下で、頂点数および内接円外の面積に対して中心極限定理を確立できるか？
• RQ4 典型的なポアソン・ボロノイ胞の幾何的性質は、単位円板内におけるポアソン点過程の凸包とどのように関係するか？
• RQ5 定常ポアソン線過程によって生成されるクロフトン胞に対しても、同様の極限定理が成り立つか？

主な発見

• 内接円半径 r で条件づけた典型的なポアソン・ボロノイ胞の頂点数の期待値 ENr は、ENr ∼ a₁r²ᐟ³ を満たし、a₁ = 4π·3⁻¹ᐟ³Γ(5/3) ≈ 7.86565 である。
• 正規化された頂点数 Nr / (a₁r²ᐟ³) は r → ∞ のとき L¹ で 1 に収束し、大数の法則が確認される。
• Nr に対して中心極限定理が成り立つ：(Nr − ENr)/√Var(Nr) は標準正規分布に分布収束し、Var(Nr) ∼ a₂r²ᐟ³ を満たすある定数 a₂ に対して成り立つ。
• 内接円外の面積 V₂(Cr ∖ D(0,r)) に対しても中心極限定理が成り立ち、2次のモーメントが r⁴ のオーダーをとる。
• 同様の漸近的結果が、定常ポアソン線過程によって生成されるクロフトン胞に対しても確立され、類似の増加率および極限定理が成り立つ。
• ギルバートおよびズイエフの手法による指数モーメント境界を用いて、Nr および内接円外の面積のモーメント推定値を導出し、E[exp(λNr)] = O(exp(Kr²)) および E[exp(λV₂)] = O(exp(Kr²)) を満たす適切な λ, K > 0 を得る。