[論文レビュー] Limit theorems of Chatterjee's rank correlation

Zhexiao Lin, Han Fang|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2022

Advanced Statistical Methods and Models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Y が X の可測関数でない限り、Chatterjeeの順位相関とAzadkia-Chatterjeeのグラフベース相関の漸近正規性を一般条件下で確立し、両統計量が漸近的に正規分布に従うことを証明する。さらに、漸近分散が36で一様に有界であることを示し、一貫した分散推定量を提供することで、非パラメトリックな依存測度に関する長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Establishing the limiting distribution of Chatterjee's rank correlation for a general, possibly non-independent, pair of random variables has been eagerly awaited by many. This paper shows that (a) Chatterjee's rank correlation is asymptotically normal as long as one variable is not a measurable function of the other, (b) the corresponding asymptotic variance is uniformly bounded by 36, and (c) a consistent variance estimator exists. Similar results also hold for Azadkia-Chatterjee's graph-based correlation coefficient, a multivariate analogue of Chatterjee's original proposal. The proof is given by appealing to Hájek representation and Chatterjee's nearest-neighbor CLT.

研究の動機と目的

• Y が X の可測関数でない場合の一般かつ非 i.i.d. な2変量データにおけるChatterjeeの順位相関の極限分布を確立すること。
• 弱い混合性仮定の下でChatterjeeおよびAzadkia-Chatterjeeの相関係数の漸近分布を導出するという未解決問題を解決すること。
• これらの相関測度の漸近分散の一致推定量を提供し、実務における有効な推論を可能にすること。
• AzadkiaとChatterjeeが提唱した多変量グラフベース相関係数への理論的結果の拡張。
• 漸近分散が36で一様に有界であることを確立し、多様な依存構造にわたる安定性を保証すること。

提案手法

• Hájek表現を用いて、相関統計量をi.i.d.なU統計量に類似した項の和として表現し、中心極限定理（CLT）の適用を可能にする。
• 高次元設定における最近傍点インデックスに起因する依存性に対処するため、Chatterjeeの最近傍点CLTを適用する。
• 最近傍点構造と同順位を考慮した、$ \tfrac{1}{n^3} $ の和として表される一貫した分散推定量 $ \tilde{\tau}^2 $ を導出する。
• 対称化とEfron-Stein不等式を用いて、設計点 $ X_i $ を条件とする条件付き期待値の分散を制御する。
• ランクと設計点の間の依存性を解体するため、反事後的潜在的アウトカム枠組み $ \tilde{X}_i, \tilde{Y}_i $ を導入する。
• 漸近分散を表現するための主要な構成要素として、条件付き期待値 $ \text{E}[F_Y(Y_1 \bigwedge \tilde{Y}_1) \big| X_1] $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Y が X の可測関数でない場合、Chatterjeeの順位相関は漸近的に正規分布に従うか？
• RQ2 ChatterjeeおよびAzadkia-Chatterjeeの相関係数の漸近分散は何か？ また、それは一様に有界か？
• RQ3 これらの順位ベース相関測度のための一貫した分散推定量を構築できるか？
• RQ4 一般な依存構造、特に X と Y が依存している場合でも、漸近正規性は成立するか？
• RQ5 最近傍点構造は、相関推定量の漸近分布にどのように影響を与えるか？

主な発見

• Y が X の可測関数でないという条件下で、Chatterjeeの順位相関 $ \bar{\theta}_n $ は漸近的に正規分布に従い、標準正規変数への分布収束を示す。
• Y が X の可測関数でない限り、$ \bar{\theta}_n $ の漸近分散は、$ (X,Y) $ の潜在分布にかかわらず36で一様に有界である。
• ランクと最近傍点インデックスにのみ依存する、漸近分散の一致推定量 $ \tilde{\tau}^2 $ が導出された。
• 同様の漸近正規性と分散の上限は、Azadkia-Chatterjeeのグラフベース相関係数に対しても成り立ち、多変量設定への拡張が可能である。
• 条件付き期待値とその近似との差が確率的に0に収束することを証明し、Hájek表現の妥当性を裏付けた。
• 分散推定量 $ \tilde{\tau}^2 $ は、ランク $ R_i \bigwedge R_{N(i)} $、最近傍点インデックス、およびランク順序の指示関数を含む、ランクベースのU統計量に類似した項を明示的に構築した。