[論文レビュー] Limit theorems with rate of convergence under sublinear expectations

Xiao Fang, Shigē Péng+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2017

Fuzzy Systems and Optimization参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、サブリニア期待値における収束の明示的レートを伴う新しい大数の法則および中心極限定理を、シュタイン法とG正規分布近似を用いて確立する。主な貢献は、モデルの不確実性下での分布極限における収束速度の定量的評価であり、古典的極限定理を非線形期待値フレームワークへと拡張し、ロバストな統計的意味を持つ。

ABSTRACT

Under the sublinear expectation $\mathbb{E}[\cdot]:=\sup_{θ\in Θ} E_θ[\cdot]$ for a given set of linear expectations $\{E_θ: θ\in Θ\}$, we establish a new law of large numbers and a new central limit theorem with rate of convergence. We present some interesting special cases and discuss a related statistical inference problem. We also give an approximation and a representation of the $G$-normal distribution, which was used as the limit in Peng (2007)'s central limit theorem, in a probability space.

研究の動機と目的

• モデルの不確実性をモデル化するサブリニア期待値の枠組みへ、古典的極限定理（大数の法則および中心極限定理）を拡張すること。
• サブリニア期待値下で、これらの極限定理の明示的収束レートを導出することにより、弱収束結果を越えること。
• Pengの中心極限定理の実用的応用を可能にするために、確率空間内でのG正規分布の厳密な近似と表現を提供すること。
• 分布の不確実性を扱う統計的推論問題に対して、経験的平均および正規化された和の収束レートを確立すること。
• 非線形期待値フレームワークを用いて、不確実性の解析を統一し、収束行動を定量的に記述すること。

提案手法

• シュタイン法を用いて、正規化された和の分布と極限となるG正規分布との距離の上限を導出する。
• 時間に依存する分散を有する拡散過程の系列を構築し、G正規分布を近似するとともに、誤差項を制御する。
• アレクサンドロフ＝バケルマン＝プッチ＝クリーロフ最大原理を用いて、摂動された分散係数を有するG熱方程式の解の差を制御する。
• 滑らかでない関数σφ(t,x)をL²空間内での滑らかな関数σnで近似するために、滑らか化（ mollification ）を用い、PDE解における収束を保証する。
• G熱方程式 ∂tu − ½G(∂²xxu) = 0 の粘性解を、極限分布の対象として用いる。ここで G(α) = ½(σ̄²α⁺ − σ̲²α⁻) である。
• i.i.d. 確率変数がG正規分布に従うことを前提としたカップリングの議論により、サブリニア期待値下での期待値と参照となるサブリニア期待値との等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平均が不確実な状況下で、サブリニア期待値下の大数の法則の収束レートは何か？
• RQ2 i.i.d. 確率変数の正規化された和が、サブリニア期待値下でG正規分布へ収束する速度はどの程度か？
• RQ3 G正規分布を標準的な確率空間内で近似・表現することは可能か？ これにより実用的な統計的推論が可能になるか？
• RQ4 シュタイン法は非線形期待値にどの程度適応可能か？ これにより分布収束の定量的バインディングが得られるか？
• RQ5 収束バインディングは、元の確率変数のモーメントおよび分散の範囲 [σ̲, σ̄] にどのように依存するか？

主な発見

• 本稿は、リプシッツ関数に対してO(1/√n)の収束レートを伴う、サブリニア期待値下での新しい大数の法則を確立し、Peng（2010）の弱収束結果を改善する。
• O(1/√n)の収束レートを伴う中心極限定理が導出され、正規化された和がこのレートでG正規分布へ収束することを示し、シュタイン法による明示的バインディングを提供する。
• G正規分布は、確率的分散を有する拡散過程の系列の弱極限として表現され、滑らかでない関数を用いた系列による確率空間内での分布近似が可能である。
• G熱方程式の解が極限分布を特徴づけるものとして用いられ、分散係数の摂動下でも解の収束が最大原理を用いて証明される。
• 収束レートが、真の分散関数と近似された分散関数のL²ノルムの差に依存しており、近似の滑らかさが向上するに従い誤差が減少することが示された。
• 定量的バインディングを提供することにより、古典的極限定理がモデルの不確実性へと拡張され、不確実な分布下でのロバストな統計的推論が可能になる。