[論文レビュー] Limiting behavior of large correlated Wishart matrices with chaotic entries

Solesne Bourguin, Charles-Philippe Diez+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 17被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、マルチバリアン微積分とスティンの方法を用いて、非ガウス的で混沌とした項を持つ大規模な相関付きワイスマン行列の極限定理を調査する。i.i.d. な項が任意のウィーナー混合に属する場合、それはガウス正交群（GOE）に収束する。一方、長距離依存性を持つ2次混合に属する項では、非ガウス的で対角行列の極限に収束する。両ケースにおいて、収束速度の Wasserstein 距離の明示的境界が得られる。

ABSTRACT

We study the fluctuations, as $d,n\ o \\infty$, of the Wishart matrix $\\mathcal{W}_{n,d}= \\frac{1}{d} \\mathcal{X}_{n,d} \\mathcal{X}_{n,d}^{T} $ associated to a $n\ imes d$ random matrix $\\mathcal{X}_{n,d}$ with non-Gaussian entries. We analyze the limiting behavior in distribution of $\\mathcal{W}_{n,d}$ in two situations: when the entries of $\\mathcal{X}_{n,d}$ are independent elements of a Wiener chaos of arbitrary order and when the entries are partially correlated and belong to the second Wiener chaos. In the first case, we show that the (suitably normalized) Wishart matrix converges in distribution to a Gaussian matrix while in the correlated case, we obtain its convergence in law to a diagonal non-Gaussian matrix. In both cases, we derive the rate of convergence in the Wasserstein distance via Malliavin calculus and analysis on Wiener space.

研究の動機と目的

• 古典的確率的行列理論を、有限の次数を持つ任意のウィーナー混合に属する非ガウス的・高次元のワイスマン行列へと拡張すること。
• 項が従属的であり、長距離依存性を持つ2次ウィーナー混合に属する場合のワイスマン行列の極限挙動を分析すること。
• 正規化されたワイスマン行列の極限分布への収束速度を Wasserstein 距離で明示的に導出すること。
• i.i.d. ガウス的または対数凸性を持つ項に限らない、従来の中心極限定理の結果を、混合構造と長距離依存性を組み込むことで一般化すること。
• マルチバリアン微積分とスティンの方法を用いて、高次元領域における収束と収束速度の推定を確立すること。

提案手法

• 非ガウス的行列項をモデル化するために、多重ストラトノビッチ積分と多重ウィーナー＝イト混合展開を用いる。
• ウィーナー空間上でのマルチバリアン微積分を用いて、正規近似のためのスティンの方法の境界を計算する。
• 正規化されたワイスマン行列の極限への収束速度を測定するために、Wasserstein 距離を用いる。
• 2つの状態に分けて分析する：任意のウィーナー混合に属する i.i.d. 項（GOE に収束）と、2次混合に属する相関項（非ガウス的対角行列に収束）。
• 長距離依存構造に対して、分数 Browm 動的過程とローゼンブラット過程の表現を用いて明示的境界を導出する。
• ヘルミートモーメントと共分散構造の漸近的解析を組み合わせることで、$ n $ と $ d $ の関数として収束速度を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限の次数を持つ任意のウィーナー混合に属する i.i.d. 項を持つ大規模ワイスマン行列の極限定理は何か？
• RQ2 項が相関的であり、長距離依存性を持つ2次ウィーナー混合に属する場合、極限挙動はどのように変化するか？
• RQ3 高次元領域において、正規化されたワイスマン行列の極限分布への Wasserstein 距離での収束速度は何か？
• RQ4 マルチバリアン微積分とスティンの方法は、非ガウス的かつ従属的なワイスマン行列の収束速度を効果的に導出できるか？
• RQ5 長距離依存項の場合、ハーストパラメータ $ H $ は収束速度にどのように影響するか？

主な発見

• 項が有限の次数を持つ任意のウィーナー混合に属する i.i.d. な場合、正規化されたワイスマン行列は法的にガウス正交群（GOE）に収束する。
• 2次ウィーナー混合に属する長距離依存項の場合、極限行列は対角的で非ガウス的であり、ハーストパラメータ $ H \in (1/2, 1) $ を持つローゼンブラット過程によって特徴づけられる。
• Wasserstein 距離における収束速度は、$ H \in (1/2, 3/4) $ の場合 $ C n d^{1/2 - H} $ で有界であり、$ H = 3/4 $ では $ C n \sqrt{\log d} \, d^{-1/4} $、$ H \in (3/4, 1) $ では $ C n d^{H - 1} $ で有界である。
• $ H \to 1 $ に近づくにつれて収束速度が劣化し、項の依存性が強くなることを反映している。
• 相関が十分に強い場合、極限分布が非ガウス的であることが分析によって確認され、i.i.d. 場合のガウス的極限とは対照的である。
• マルチバリアン微積分の使用により、非ガウス的かつ従属的な設定においても、Wasserstein 距離の境界を精確に計算可能である。