[論文レビュー] Limiting Behavior of LQ Deterministic Infinite Horizon Nash Games with Symmetric Players as the Number of Players goes to Infinity

George P. Papavassilopoulos|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2014

Economic theories and models参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、連続時間における多数のプレイヤーを有する対称的線形二次（LQ）決定的ナッシュゲームを研究し、プレイヤー数が無限大に近づくにつれて、ナッシュ均衡戦略が、他のプレイヤーの平均的行動をモデル化する1つの代表的プレイヤーに対して最適化する極限に収束することを示している。主な結果は、無限人以上の極限が、有限だが大きな集団に対して非常に良い近似を与えることである。

ABSTRACT

A Linear Quadratic Deterministic Continuous Time Game with many symmetric players is considered and the Linear Feedback Nash strategies are studied as the number of players goes to infinity. We show that under some conditions the limit of the solutions exists and can be used to approximate the case with a finite but large number of players. It is shown that in the limit each player acts as if he were faced with one player only, who represents the average behavior of the others.

研究の動機と目的

• 対称的プレイヤーの数が増加する際の、線形二次（LQ）決定的無限時間ナッシュゲームの極限的挙動を分析すること。
• プレイヤー数が無限大に近づくとき、ナッシュ均衡戦略が明確な極限に収束するかどうかを特定すること。
• 極限解が、有限だが大きなプレイヤー集団に対して実用的な近似として機能できるかどうかを調査すること。
• 極限均衡の構造を特徴づけ、代表的プレイヤーの観点からその解釈を明らかにすること。
• 無限時間LQ制御フレームワークにおいて、極限が存在し安定するための条件を確立すること。

提案手法

• 各プレイヤーが二次コスト関数を最小化する対称的プレイヤーを有する連続時間決定的LQゲームを定式化する。
• 標準的なリッカティ型方程式を用いて、有限プレイヤー数における線形フィードバックナッシュ均衡戦略を導出する。
• プレイヤー数N → ∞の下でのリッカティ方程式の漸近的挙動を分析する。
• 適切な条件下で、フィードバックゲインおよびコスト・トゥ・ゴ行列がNに依存しない極限に収束することを示す。
• 極限において、各プレイヤーの最適制御が、他のすべてのプレイヤーの集団的行動を表す1つの代表的プレイヤーの状態にのみ依存することを示す。
• 平均場近似技術を用いて、極限解を、1人の代表的プレイヤーが集団平均と相互作用するゲームとして解釈する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称的プレイヤー数が無限大に近づくとき、各プレイヤーのナッシュ均衡戦略は収束するか？
• RQ2 極限均衡の構造は何か？ 有限プレイヤー数の均衡とはどのように異なるか？
• RQ3 極限解は、1人の代表的プレイヤーが集団の平均的行動と対戦するゲームとして解釈可能か？
• RQ4 リッカティ方程式の極限が存在し、安定した解をもたらすための条件は何か？
• RQ5 有限だが大きなプレイヤー集団に対して、無限人プレイヤー極限はどの程度の精度で近似可能か？

主な発見

• 対称的プレイヤー数が無限大に近づくにつれて、線形フィードバックナッシュ均衡戦略は極限に収束する。
• 極限解は、他のすべてのプレイヤーの平均的行動をモデル化する1つの代表的プレイヤーに対して最適化するものに対応する。
• 極限のフィードバックゲインおよびコスト・トゥ・ゴ行列はプレイヤー数に依存せず、低次元化された方程式の集合を満たす。
• システム行列およびコストパラメータに関する標準的仮定の下で収束が確立され、極限の存在および安定性が保証される。
• 極限解は、有限だが大きな集団に対して非常に良い近似を提供し、大規模な対称的ゲームの解析を簡略化する。
• 本結果は、個々のプレイヤーが単一の集約的プレイヤーと対戦すると見なす平均場近似の有用性を裏付ける。