[論文レビュー] Limiting distributions for eigenvalues of sample correlation matrices from heavy-tailed populations

Johannes Heiny, Jianfeng Yao|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、指数 $\alpha \in (0,2)$ を持つ重たい尾を持つ regularly varying な座標を有する母集団の下で、標本相関行列の固有値の極限スペクトル分布を確立する。モーメント法と新規のグラフ数え上げ組合せ論を用いて、$\alpha$ とアスペクト比 $\gamma = p/n$ に依存する新しい極限分布族 $H_{\alpha,\gamma}$ を導出する。そのモーメントは、古典的 Marčenko–Pastur 分布と重たい尾の寄与に分解される。

ABSTRACT

Consider a $p$-dimensional population ${\mathbf x} \in\mathbb{R}^p$ with iid coordinates in the domain of attraction of a stable distribution with index $α\in (0,2)$. Since the variance of ${\mathbf x}$ is infinite, the sample covariance matrix ${\mathbf S}_n=n^{-1}\sum_{i=1}^n {{\mathbf x}_i}{\mathbf x}'_i$ based on a sample ${\mathbf x}_1,\ldots,{\mathbf x}_n$ from the population is not well behaved and it is of interest to use instead the sample correlation matrix ${\mathbf R}_n= \{\operatorname{diag}({\mathbf S}_n)\}^{-1/2}\, {\mathbf S}_n \{\operatorname{diag}({\mathbf S}_n)\}^{-1/2}$. This paper finds the limiting distributions of the eigenvalues of ${\mathbf R}_n$ when both the dimension $p$ and the sample size $n$ grow to infinity such that $p/n o γ\in (0,\infty)$. The family of limiting distributions $\{H_{α,γ}\}$ is new and depends on the two parameters $α$ and $γ$. The moments of $H_{α,γ}$ are fully identified as sum of two contributions: the first from the classical Marčenko-Pastur law and a second due to heavy tails. Moreover, the family $\{H_{α,γ}\}$ has continuous extensions at the boundaries $α=2$ and $α=0$ leading to the Marčenko-Pastur law and a modified Poisson distribution, respectively. Our proofs use the method of moments, the path-shortening algorithm developed in [18] and some novel graph counting combinatorics. As a consequence, the moments of $H_{α,γ}$ are expressed in terms of combinatorial objects such as Stirling numbers of the second kind. A simulation study on these limiting distributions $H_{α,γ}$ is also provided for comparison with the Marčenko-Pastur law.

研究の動機と目的

• 母集団の無限分散が重たい尾を持つ regularly varying な座標によって引き起こされる場合に、標本相関行列の極限スペクトル分布を同定すること。
• 従来、有限な2次モーメントのもとでのみ有効であった古典的確率的行列理論の結果を、無限分散の設定に拡張すること。
• 高次元漸近的設定 $p,n \to \infty$ で $p/n \to \gamma$ の下で、極限固有値分布 $H_{\alpha,\gamma}$ の明確な形を同定すること。
• $H_{\alpha,\gamma}$ のモーメントを分析し、それらが古典的 Marčenko–Pastur と重たい尾の寄与に分解されることを示すこと。
• $\alpha = 2$（Marčenko–Pastur の回復）および $\alpha = 0$（修正されたポisson分布の得られる）における $H_{\alpha,\gamma}$ の連続的拡張を示すこと。

提案手法

• 標本相関行列 $\mathbf{R}_n$ の固有値分布の極限 $k$-次モーメントを計算するためにモーメント法を適用する。
• データ行列の正規化された要素の積を含むモーメント表現を簡略化するために、先行研究からのパス短縮アルゴリズムを用いる。
• 特に第二種スターリング数を含む、モーメント展開における寄与する構成を数えるために、新規のグラフ数え上げ組合せ論を導入する。
• $n,p \to \infty$ で $p/n \to \gamma$ となる漸近的挙動を分析することで、極限スペクトル分布 $H_{\alpha,\gamma}$ を導出する。
• $\alpha \to 0^+$ および $\alpha \to 2^-$ における $\Gamma(1 - \alpha/2)$ の漸近的挙動を用いて境界極限を研究する。
• 行内に依存関係を生じるため解析を複雑にする標準化行列 $\mathbf{Y}$（要素 $Y_{ij} = X_{ij}/\sqrt{\sum_{j=1}^n X_{ij}^2}$）に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 母集団座標が i.i.d. で指数 $\alpha \in (0,2)$ の regularly varying な分布に従うとき、標本相関行列の固有値の極限スペクトル分布は何か？
• RQ2 極限固有値分布のモーメントは、古典的 Marčenko–Pastur 法則と重たい尾の挙動に由来する寄与にどのように分解されるか？
• RQ3 $\alpha \to 0^+$ および $\alpha \to 2^-$ のとき、極限分布 $H_{\alpha,\gamma}$ はどのように振る舞い、連続的拡張が可能か？
• RQ4 標準化によって生じる依存する要素を有する相関行列に対し、モーメント法を効果的に適用できるか？
• RQ5 重たい尾かつ高次元設定下でのモーメント展開を支配する組合せ的構造は何か？

主な発見

• 極限スペクトル分布 $H_{\alpha,\gamma}$ は、尾指数 $\alpha$ とアスペクト比 $\gamma = p/n$ に依存する、新しい分布族である。
• $H_{\alpha,\gamma}$ の $k$-次モーメントは、古典的 Marčenko–Pastur 法則に一致する項と、重たい尾の依存性に起因する項の和として表現される。
• $\alpha \to 0^+$ のとき、極限分布 $H_{\alpha,\gamma}$ は、$\mathbb{P}(Z=0) = 1 - \frac{1}{\gamma} + \frac{1}{\gamma}e^{-\gamma}$ および $k \geq 1$ に対して $\mathbb{P}(Z=k) = e^{-\gamma}\frac{\gamma^{k-1}}{k!}$ を満たす修正されたポアソン分布に収束する。
• $\alpha \to 2^-$ のとき、$H_{\alpha,\gamma}$ は古典的 Marčenko–Pastur 法に収束し、境界での連続性が確認される。
• $H_{\alpha,\gamma}$ のモーメントは、第二種スターリング数やトーチャード多項式といった組合せ的対象によって完全に特徴づけられる。
• シミュレーション研究により理論的予測が確認され、特に尾部において $H_{\alpha,\gamma}$ と Marčenko–Pastur 法とで顕著な差が生じることが示された。