[論文レビュー] Limiting distributions for the maximal displacement of branching Brownian motions

Yasuhito Nishimori, Yuichi Shiozawa|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2019

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 32被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、空間的に非一様な分岐を示すd次元ユークリッド空間上での分岐 Browm運動の最大移動距離の極限分布および正確な尾尾漸近を確立する。線形成長率がシュレーディンガー型作用素の主固有値λによって決定され、2次項は時間に関して対数的であり、尾確率は指数関数的にtに対して減少し、べき則係数を伴う。極値粒子の移動距離の条件付き分布は、極限マルティンゲールでシフトされたGumbel分布に収束する。

ABSTRACT

We determine the long time behavior and the exact order of the tail probability for the maximal displacement of a branching Brownian motion in Euclidean space in terms of the principal eigenvalue of the associated Schrödinger type operator. To establish our results, we show a sharp and locally uniform growth order of the Feynman-Kac semigroup.

研究の動機と目的

• 空間的に非一様な分岐を示す分岐 Browm運動における最大移動距離の尾確率の正確な漸近的挙動を特定すること。
• 最大移動距離の成長における2次項を特徴づけ、それが時間に関して対数的で次元に依存することを示すこと。
• 前線外の集団の条件付き極限分布を、特に臨界および亜臨界状態で確立すること。
• 状態依存分岐およびコンパクトに台を持つ再生を有するモデルへ、線形成長および尾の減少に関する先行結果を拡張すること。

提案手法

• 解析は、シュレーディンガー作用素H^ν = -Δ/2 - νに関連するフェインマン＝ハースの半群に関する鋭い推定に基づく。
• 著者らは、H^νの主固有値λ < 0を用いて、最大移動距離の線形成長率√(-λ/2) tを決定する。
• ラプラス法および積分における変数変換を用いて、|x| > δt の領域における期待集団数を分析することで、尾確率P(L_t > δt)の精密な漸近展開を導出する。
• 移動過程Y_tの極限分布が、マルティンゲール収束および条件付き確率技法を用いて導出された極限マルティンゲールでシフトされたGumbel分布に収束することを示す。
• 著者らは、前線外の期待集団数に対する上界および下界を、カトクラス条件および後代分布のモーメント推定を用いて導出する。
• グリーン関数および固有関数の挙動に関する推定を用いて空間に一様な収束を確立し、成長順序の局所的均一性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的に非一様な分岐を示す分岐 Browm運動において、最大移動距離L_tは時間とともにどのように成長するか？
• RQ2 t → ∞ において、尾確率P(L_t > δt)の正確な漸近的挙動は何か、特に臨界および亜臨界状態においては？
• RQ3 中心化された最大移動距離Y_t = L_t - √(-λ/2)t - (d-1)/(2√(-2λ)) log t の極限分布は何か？
• RQ4 最大移動距離が特定の閾値を超える条件のもとで、前線外の集団はどのように振る舞うか？

主な発見

• 最大移動距離L_tは、シュレーディンガー作用素H^ν = -Δ/2 - νの主固有値λ < 0に対して、√(-λ/2) t の線形的に成長する。
• L_tにおける2次項は(d-1)/(2√(-2λ)) log t であり、λ = -2 のとき、均一系の場合に知られている形と一致する。
• δ ∈ (√(-λ/2), √(-2λ)) に対して、尾確率はt → ∞ でP(L_t > δt) ∼ C₁ e^{(-λ - √(-2λ)δ)t} t^{(d-1)/2} を満たし、明示的なC₁ > 0が存在する。
• δ = √(-λ/2) および任意のγ ≥ d-1 に対して、P(L_t > √(-λ/2)t + γ/(2√(-2λ)) log t + b(t)) ∼ C₂ e^{-√(-2λ) b(t)} t^{(d-1-γ)/2} が成り立ち、b(t) → ∞ かつb(t) = o(log t) である。
• 非絶滅条件下でのY_tの条件付き分布は、正規成長事象のもとで弱収束し、極限マルティンゲールでシフトされたGumbel分布に収束する。
• L_t > R(t) 条件のもとでの前線外の粒子数の条件付き分布は、非退化極限に収束し、少なくとも1つのこのような粒子が存在する確率は、期待値と漸近的に同値である。