[論文レビュー] Limits of log canonical thresholds

Tommaso de Fernex, Mircea Mustaţă|ArXiv.org|Oct 26, 2007

Polynomial and algebraic computation参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元 $n$ の滑らかな代数多様体上の対数 canonical しきい値の集合が $\mathbb{R}$ で閉じていることを証明し、Kollárの予想を確認する。すなわち、この集合内の単調減少列のすべての極限が次元 $n-1$ における集合に属することを示す。非標準解析と形式的冪級数の性質を用いて、すべての集積点が有理数であることを確立し、ShokurovのACC予想を、1が $\mathcal{T}_n$ から下から集積点でないことを確認することに帰着する。

ABSTRACT

Let T_n denote the set of log canonical thresholds of pairs (X,Y), with X a nonsingular variety of dimension n, and Y a nonempty closed subscheme of X. Using non-standard methods, we show that every limit of a decreasing sequence in T_n lies in T_{n-1}, proving in this setting a conjecture of Kollár. We also show that T_n is a closed subset in the set of real numbers; in particular, every limit of log canonical thresholds on smooth varieties of fixed dimension is a rational number. As a consequence of this property, we see that in order to check Shokurov's ACC Conjecture for all T_n, it is enough to show that 1 is not a point of accumulation from below of any T_n. In a different direction, we interpret the ACC Conjecture as a semi-continuity property for log canonical thresholds of formal power series.

研究の動機と目的

• 滑らかな $n$ 次元多様体上の対数 canonical しきい値の集合 $\mathcal{T}_n$ が $\mathbb{R}$ で閉じていることを証明すること。
• Kollárの予想、すなわち $\mathcal{T}_n$ 内の単調減少列のすべての極限が $\mathcal{T}_{n-1}$ に属することを検証すること。
• 有界次元における対数 canonical しきい値のすべての集積点が有理数であることを示すこと。
• ShokurovのACC予想を、1が $\mathcal{T}_n$ から下から集積点でないという条件に帰着させること。
• 形式的冪級数の対数 canonical しきい値が $\geq c$ であるような集合 $\mathcal{R}_n(c)$ が、形式的冪級数環におけるシリンダーであることを解釈すること。

提案手法

• 非標準解析を用いて $\mathcal{T}_n$ 内の対数 canonical しきい値の極限を分析すること。
• 超フィルターと非標準モデルを用いて $\mathcal{T}_n$ 内の列の挙動を研究すること。
• 形式的冪級数 $k[[x_1,\dots,x_n]]$ の環上のZariski位相を分析し、集合 $\mathcal{R}_n(c)$ の構成可能性を研究すること。
• $\mathcal{R}_n(c) = \{f \in k[[x_1,\dots,x_n]] \mid f(0)=0, \operatorname{lct}(f) \geq c\}$ が形式的冪級数環におけるシリンダーであることを証明すること。
• 対数 canonical しきい値の半連続性定理を適用し、商環 $\mathfrak{m}/\mathfrak{m}^\ell$ におけるある集合が開または構成可能であることを示すこと。
• 集合がシリンダーであるための必要十分条件が、有限個の構成可能シリンダーの共通部分集合であることを利用して、位相的性質から有限性条件を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $\mathcal{T}_n$ 内の単調減少列の極限は $\mathcal{T}_{n-1}$ に属するか？
• RQ2 $\mathcal{T}_n$ は任意の $n$ に対して $\mathbb{R}$ で閉じているか？
• RQ3 有界次元における対数 canonical しきい値のすべての集積点は有理数か？
• RQ4 ShokurovのACC予想は、1が $\mathcal{T}_n$ から下から集積点でないという条件に帰着可能か？
• RQ5 形式的冪級数で対数 canonical しきい値 $\geq c$ であるような集合 $\mathcal{R}_n(c)$ は、形式的冪級数環におけるシリンダーか？

主な発見

• $\mathcal{T}_n$ は滑らかな $n$ 次元多様体上の対数 canonical しきい値の集合であり、$\mathbb{R}$ で閉じている。
• $\mathcal{T}_n$ 内の単調減少列のすべての極限は $\mathcal{T}_{n-1}$ に属する。これはKollárの予想を確認する。
• 有界次元における対数 canonical しきい値のすべての集積点は有理数であり、$\mathcal{T}_n \subseteq \mathbb{Q} \cap [0,n]$ である。
• ShokurovのACC予想がすべての $\mathcal{T}_n$ で成り立つための必要十分条件は、1がどの $\mathcal{T}_n$ からも下からの集積点でないことである。
• ACC予想は、任意の $c \in \mathbb{Q}$ に対して $\mathcal{R}_n(c)$ が形式的冪級数環におけるシリンダーであることと同値である。
• $k$ が非可算であるとき、$\operatorname{lct}(f) \geq c$ という条件は、$f$ の $N(n,c)$ 次までの一意に依存し、この $N(n,c)$ は $k$ に依存しない。