[論文レビュー] Limits of multiplicative inhomogeneous random graphs and Lévy trees: Limit theorems

Nicolas Broutin, Thomas Duquesne+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Lévy過程とGalton-Watson森への埋め込みを用いて、乗法的非一様ランダムグラフがランダムコンパクト測度付き距離空間にGromov-Hausdorff-Prokhorov収束することを確立する。臨界的領域における統一的極限理論を提供し、Lévy型過程の上昇部からの明示的構成により、Erdős-Rényi、一様、およびパワー則的ランダムグラフに関する先行結果を拡張する。

ABSTRACT

We consider a natural model of inhomogeneous random graphs that extends the classical Erd\H os-Rényi graphs and shares a close connection with the multiplicative coalescence, as pointed out by Aldous [AOP 1997]. In this model, the vertices are assigned weights that govern their tendency to form edges. It is by looking at the asymptotic distributions of the masses (sum of the weights) of the connected components of these graphs that Aldous and Limic [EJP 1998] have identified the entrance boundary of the multiplicative coalescence, which is intimately related to the excursion lengths of certain Lévy-type processes. We, instead, look at the metric structure of these components and prove their Gromov-Hausdorff-Prokhorov convergence to a class of random compact measured metric spaces that have been introduced in a companion paper. Our asymptotic regimes relate directly to the general convergence condition appearing in the work of Aldous and Limic. Our techniques provide a unified approach for this general "critical" regime, and relies upon two key ingredients: an encoding of the graph by some Lévy process as well as an embedding of its connected components into Galton-Watson forests. This embedding transfers asymptotically into an embedding of the limit objects into a forest of Lévy trees, which allows us to give an explicit construction of the limit objects from the excursions of the Lévy-type process. The mains results combined with the ones in the other paper allow us to extend and complement several previous results that had been obtained via regime-specific proofs, for instance: the case of Erd\H os-Rényi random graphs obtained by Addario-Berry, Goldschmidt and B. [PTRF 2012], the asymptotic homogeneous case as studied by Bhamidi, Sen and Wang [PTRF 2017], or the power-law case as considered by Bhamidi, Sen and van der Hofstad [PTRF 2018].

研究の動機と目的

• 乗法的非一様ランダムグラフの連結成分の漸近的距離構造を確立すること。
• Erdős-Rényi、一様、パワー則的モデルを含む、臨界的領域における極限定理を統一すること。
• Lévy過程とGalton-Watson森への埋め込みを用いた収束の一般枠組みを提供すること。
• Lévy型過程の上昇部から極限対象を明示的に構成すること。
• 文献における既存の領域特異的証明を拡張・一般化すること。

提案手法

• グラフは、乗法的コalescenceダイナミクスを捉えるLévy過程によって符号化される。
• 連結成分はGalton-Watson森に埋め込まれ、漸近的にLévyツリーの極限森に移行する。
• 収束は、コンパクト測度付き距離空間におけるGromov-Hausdorff-Prokhorov位相で分析される。
• 極限対象は、基礎となるLévy過程の上昇部から構成される。
• この方法は、AldousとLimic (1998) が提示した一般収束条件に依拠し、領域を問わず一様に適用される。
• この枠組みは、極限構造を共通の確率的モデルに埋め込むことで、先行結果を統一・拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的非一様ランダムグラフの連結成分の距離構造は、どのように漸近的に振る舞うか？
• RQ2 非一様ランダムグラフの臨界的領域における統一的極限定理を導くことができるか？
• RQ3 Lévy過程の上昇部から、極限的測度付き距離空間をどのように明示的に構成できるか？
• RQ4 Galton-Watson森への埋め込みは、Gromov-Hausdorff-Prokhorov位相で極限対象にどのように伝搬されるか？
• RQ5 Erdős-Rényi、一様、パワー則的ランダムグラフに関する先行結果は、どの程度一般化されるか？

主な発見

• 乗法的非一様ランダムグラフの連結成分は、Gromov-Hausdorff-Prokhorov位相において、コンパクト測度付き距離空間に確率的に収束する。
• 極限対象はLévy型過程の上昇部から明示的に構成され、極限のパスワイズ記述が得られる。
• AldousとLimic (1998) が同定した一般臨界的領域条件のもとで収束が成立し、複数の既知の事例が統一される。
• この方法により、グラフの成分構造が極限でLévyツリーの森に移行し、距離および測度の性質が保存される。
• この枠組みは、Erdős-Rényi、一様、パワー則的ランダムグラフに関する先行結果を拡張・一般化し、それらを単一の極限定理に統合する。
• この手法は、事前に個別に分析された事例に依存しない体系的で、非領域特異的な証明戦略を提供する。