[論文レビュー] Limits of Preprocessing

Filmus, Yuval, Ishai, Yuval+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、任意の関数 f: F_q^n → F_q に対して、M(x,y) = f(x+y) で定義される q^n × q^n 行列 M が、ヴァリャントの算術回路下界プログラムに十分に剛性を持たないことを示している。Croot-Lev-Pachの補題を用いて、このような行列は高々 N^ε 個の要素を変更することで、ランクが N^{1−ε′} の低ランク行列で近似可能であることを示し、したがって有限体上での強い回路下界を示すには剛性が不足していることを示している。

ABSTRACT

It is a classical result that the inner product function cannot be computed by an AC⁰ circuit [Merrick L. Furst et al., 1981; Miklós Ajtai, 1983; Johan Håstad, 1986]. It is conjectured that this holds even if we allow arbitrary preprocessing of each of the two inputs separately. We prove this conjecture when the preprocessing of one of the inputs is limited to output n + n/(log^{ω(1)} n) bits. Our methods extend to many other functions, including pseudorandom functions, and imply a (weak but nontrivial) limitation on the power of encoding inputs in low-complexity cryptography. Finally, under cryptographic assumptions, we relate the question of proving variants of the main conjecture with the question of learning AC⁰ under simple input distributions.

研究の動機と目的

• f: F_q^n → F_q に対して定義される M(x,y) = f(x+y) の形の行列が、ヴァリャントの算術回路下界プログラムを支えるのに十分に剛性を持つかどうかを調査すること。
• アーマンとウィリアムズによるヘルミート行列に関する非剛性結果を、有限体上のより広範な構造的行列クラスへと拡張すること。
• 多項式的行列のランク構造を分析することで、回路複雑性における前処理技術の限界を明らかにすること。
• 有限体上での非剛性現象が、有理数や複素数への写像を定める関数に対しても同様に成り立つかどうかを特定すること。

提案手法

• Croot-Lev-Pach (CLP) 補題を用いて、低次多項式 P に対して M(x,y) = P(x+y) のランクを評価する。
• 多項式近似の議論を適用する：任意の関数 f は、すべての入力のうち高々 N^ε 個を除いて一致するような、次数 ≤(1−δ)(q−1)n の多項式 P で近似可能である。
• 次数 ≤⌊d/2⌋ の単項式の数が q^{(1−ε')n} に比例することを活用し、低ランク近似が可能であることを示す。
• ベクトル空間の議論により、任意の関数を高々 N^ε 個の位置で変更することで、低次多項式に一致させられることを示す。
• チェルノフ＝ホイーディングの不等式を用いて、低次多項式の集合のサイズを推定し、これが全空間に比べて指数的に小さいことを示す。
• 近似とランクの境界を組み合わせることで、元の行列 M と低ランク行列 L との差異が高々 N^{1+ε} 個の要素に限られることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 f: F_q^n → F_q に対して定義される M(x,y) = f(x+y) の形の行列は、ヴァリャントの剛性プログラムを用いて強い算術回路下界を示すのに利用可能か？
• RQ2 ヘルミート行列の非剛性は、有限体上の構造的行列の広範な現象の特殊ケースであるか？
• RQ3 有限体上の任意の関数が、ランクとハミング距離の観点から、どの程度まで低次多項式で近似可能か？
• RQ4 非剛性結果は、ヘルミート行列の事例と同様に、有理数や複素数上での行列に対しても拡張可能か？
• RQ5 Croot-Lev-Pachの補題を、f(x+y) の場合を越えて、構造的行列の剛性を体系的に評価するのにも応用可能か？

主な発見

• 任意の関数 f: F_q^n → F_q に対して、行列 M(x,y) = f(x+y) は、任意の ε > 0 および十分に大きな n に対して、RF_q^M(N^{1−ε′}) ≤ N^{1+ε} を満たす。
• 近似行列 L(x,y) = P(x+y) のランクは、m_{⌊d/2⌋}(q,n) 以下であり、ある ε′ > 0 に対して N^{1−ε′} で有界である。
• f と P が一致しない入力の数は高々 N^ε であるため、M と L との差異は高々 N^{1+ε} 個の要素に限られる。
• q と ε を固定した場合、ε′ は δ に依存し、δ は q と ε に依存する。
• 非剛性結果は、CLP 補題と低次単項式の多項式空間への集中という事実に直接起因する。
• 本稿は、f(x+y) の形の行列のクラスが、有限体上ですらヴァリャントのプログラムを支えるには剛性が不足していることを示しており、前処理に基づく回路下界の限界が本質的である可能性を示唆している。