[論文レビュー] Limits of quantum speed-ups for computational geometry and other problems: Fine-grained complexity via quantum walks

Harry Buhrman, Bruno Loff+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、量子ウォークと履歴に依存しないデータ構造に基づく新しい量子還元フレームワークを導入することで、いくつかの計算幾何学的および代数的問題に対するタイトな量子時間下界を確立する。量子-3SUM予想を前提とすれば、3SUM、畳み込み-3SUM、0-エッジ重み三角形、およびさまざまな幾何学的問題において、サブライン式の量子高速化は不可能であることが証明され、既知の量子上界と一致し、細粒度複雑性における量子高速化の根本的限界を確立する。

ABSTRACT

Many computational problems are subject to a quantum speed-up: one might find that a problem having an O(n^3)-time or O(n^2)-time classic algorithm can be solved by a known O(n^1.5)-time or O(n)-time quantum algorithm. The question naturally arises: how much quantum speed-up is possible? The area of fine-grained complexity allows us to prove optimal lower-bounds on the complexity of various computational problems, based on the conjectured hardness of certain natural, well-studied problems. This theory has recently been extended to the quantum setting, in two independent papers by Buhrman, Patro, and Speelman (arXiv:1911.05686), and by Aaronson, Chia, Lin, Wang, and Zhang (arXiv:1911.01973). In this paper, we further extend the theory of fine-grained complexity to the quantum setting. A fundamental conjecture in the classical setting states that the 3SUM problem cannot be solved by (classical) algorithms in time O(n^{2-a}), for any a>0. We formulate an analogous conjecture, the Quantum-3SUM-Conjecture, which states that there exist no sublinear O(n^{1-b})-time quantum algorithms for the 3SUM problem. Based on the Quantum-3SUM-Conjecture, we show new lower-bounds on the time complexity of quantum algorithms for several computational problems. Most of our lower-bounds are optimal, in that they match known upper-bounds, and hence they imply tight limits on the quantum speedup that is possible for these problems.

研究の動機と目的

• 計算幾何学および代数的計算の問題における条件付き量子時間下界を確立すること。
• 古典的還元を量子設定に拡張することで、細粒度複雑性における量子高速化の根本的限界を調査すること。
• 3SUMおよび関連問題に対してサブライン式の量子アルゴリズムが存在するかどうかという未解決の問いを解消すること。
• 古典的事前処理（例：ソート）のボトルネックを回避するため、量子ウォークと古典的動的データ構造を組み合わせた新しい量子還元技術を開発すること。

提案手法

• サブライン式のOpn^{1-ε})時間の量子アルゴリズムが3SUMに対して存在しないという量子-3SUM予想を提示する。
• 構造化されたデータ上の量子ウォークを用いて、古典的細粒度還元を量子アルゴリズムに適応する。
• 事前処理のボトルネックを回避するために、履歴に依存しない特性を持つ古典的動的データ構造と量子ウォークをハイブリッド的に組み合わせる。
• グラフおよび配列問題の量子ウォークフレームワークにおける局所クエリをシミュレートするために、グローバー探索とアモニチュード増幅を用いる。
• 畳み込み-3SUMおよび0-エッジ重み三角形問題を3SUMに還元する際、時間計算量の上限を保持するように量子ウォークフレームワークを適用する。
• 0-エッジ重み三角形問題をOpn^{1.5-ε})時間で解く任意の量子アルゴリズムが、3SUMに対してサブライン式の量子アルゴリズムを示すことになり、予想に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子-3SUM予想を前提とすれば、3SUMおよび関連問題に対してサブライン式の量子高速化が可能かどうか。
• RQ2 量子-3SUM予想を前提とした場合、近接ペアや幾何的設定における3SUMなどの計算幾何学的問題におけるタイトな量子時間下界は何か。
• RQ3 古典的事前処理（例：ソート）がサブライン式の量子時間で行えない場合、古典的細粒度還元を量子設定にどのように適応できるか。
• RQ4 量子ウォークと古典的データ構造を組み合わせることで、時間計算量制約に違反せずに量子還元を可能にするか。
• RQ5 量子-3SUM予想を前提とした場合、畳み込み-3SUMおよび0-エッジ重み三角形問題の量子高速化の限界は何か。

主な発見

• 本稿は、量子-3SUM予想を前提とすれば、0-エッジ重み三角形問題に対して条件付きでΩ(n^{1.5})の量子時間下界を証明する。
• 畳み込み-3SUMに対して条件付きで線形の量子時間下界を確立し、既存の最良の量子上界と一致する。
• 量子-3SUM予想を前提とすれば、近接ペアおよびバイカラー近接ペアを含む、いくつかの計算幾何学的問題についてタイトな量子時間下界が証明される。
• 著者らは、0-エッジ重み三角形問題をOpn^{1.5-ε})時間で解く任意の量子アルゴリズムが、3SUMに対してサブライン式の量子アルゴリズムを示すことになり、予想に反することを示した。
• 履歴に依存しないデータ構造を用いたハイブリッド量子-古典還元フレームワークにより、古典的事前処理がサブライン式高速化を妨げる状況においても、有効な量子還元が可能になる。
• 3SUM、畳み込み-3SUM、0-エッジ重み三角形などの問題について、既存の量子上界が量子-3SUM予想のもとで最適であることが確立された。