[論文レビュー] Limits to measurement in experiments governed by algorithms

Edwin Beggs, José Félix Costa+1 more|ArXiv.org|Nov 19, 2009

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、アルゴリズム的制御がニュートン力学における測定精度に及ぼす根本的な制限を調査する。実験手順をチューリングマシンとしてモデル化することで、質量のような特定の物理量が、内在する計算的制約のため、任意の精度で測定できないことが示され、実験的誤差ではなく計算可能性理論に基づく新たな不確定性原理の存在が明らかになった。

ABSTRACT

We pose the following question: If a physical experiment were to be completely controlled by an algorithm, what effect would the algorithm have on the physical measurements made possible by the experiment? In a programme to study the nature of computation possible by physical systems, and by algorithms coupled with physical systems, we have begun to analyse (i) the algorithmic nature of experimental procedures, and (ii) the idea of using a physical experiment as an oracle to Turing Machines. To answer the question, we will extend our theory of experimental oracles in order to use Turing machines to model the experimental procedures that govern the conduct of physical experiments. First, we specify an experiment that measures mass via collisions in Newtonian Dynamics; we examine its properties in preparation for its use as an oracle. We start to classify the computational power of polynomial time Turing machines with this experimental oracle using non-uniform complexity classes. Second, we show that modelling an experimenter and experimental procedure algorithmically imposes a limit on what can be measured with equipment. Indeed, the theorems suggest a new form of uncertainty principle for our knowledge of physical quantities measured in simple physical experiments. We argue that the results established here are representative of a huge class of experiments.

研究の動機と目的

• 実験のアルゴリズム的制御が物理的測定の精度と可能性に与える影響を調査すること。
• 実験者と実験手順をチューリングマシンとしてモデル化することで物理オракル理論を拡張し、測定制御を分析するための新たな原則（原則6）を提示すること。
• 計算的制限、特に決定不能性と計算複雑性の制約が、理想化されたニュートン力学系ですら、測定可能なものの上限を根本的に制限することを示すこと。
• この制限が実験的誤差によるものではなく、アルゴリズム的手順自体の論理的・計算的構造に起因することを示すこと。
• この種の不確定性が、物理科学全般に適用可能な物理的測定の一般的な特徴であると主張すること。

提案手法

• ニュートン力学における衝突ベースの質量測定実験（CME）を、測定とデータ収集の順序を制御するチューリングマシンとしてモデル化する。
• CMEを多項式時間チューリングマシンの物理的オラクルとして用い、非一様複雑度クラス（$P/poly$ および $BPP//\log^*$ など）の観点からその計算的パワーを分析する。
• 測定に要する時間を、望ましい精度の関数として定式化し、高精度測定が指数関数的に長い時間を要することを示す。
• 完璧な装置を備えても、実験手順のアルゴリズム的制御における決定不能性のため、すべての質量が測定可能ではないことを確立する。
• 一般化された実験クラスに理論を適用し、結果が物理的測定の広範な分野に代表的であると主張する。
• 計算可能性理論を用いて、特定の値を測定できない理由がノイズや誤差ではなく、アルゴリズム的手順の論理的限界に起因することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実験手順が完全にアルゴリズム的に制御されている場合、物理的測定に及ぼされる計算的制限は何か？
• RQ2 アルゴリズム的に制御される物理実験を制御するチューリングマシンは、任意の精度ですべての物理的量を測定できるか？
• RQ3 アルゴリズム的制御実験における測定に要する時間は、望ましい精度にどのように依存するか？
• RQ4 実験手順のアルゴリズム的性質が、古典物理学に新たな種類の不確定性原理をもたらすか？
• RQ5 測定の制限は、実験的誤差よりも計算的決定不能性に起因する程度はどの程度か？

主な発見

• CME実験がチューリングマシンによって制御される場合、内在的な計算的決定不能性のため、任意の精度ですべての質量を測定できない。
• 測定に要する時間が、望ましい精度に伴い指数関数的に増加するため、多項式時間内では高精度測定は現実的ではない。
• CMEオラクルを備えた多項式時間チューリングマシンの計算的パワーは、精度の仮定に応じて非一様複雑度クラス（$P/poly$ および $BPP//\log^*$ など）に制限される。
• 結果は、物理的ノイズや誤差ではなく、計算可能性の制約に起因する古典力学における新たな不確定性原理の存在を示唆する。
• この制限はCMEに特有のものではなく、広範な物理的実験のクラスに代表されるものであり、物理学における一般化された認識的制約を示している。
• この研究は、完璧な装置を備えていても、アルゴリズム的制御プロセス自体が観測可能なものの上限を論理的に制限することを明らかにした。