[論文レビュー] Limsup behaviors of multi-dimensional selfsimilar processes with independent increments

Toshiro Watanabe, Kouji Yamamuro|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、独立増分を有する多次元自己相似過程について、'limsup' 型の繰り返し対数法則を確立する。t → ∞ および t → 0 の極限における |X(t)|/(t^H g(|log t|)) の漸近的挙動がほとんど確実に定数 C ∈ [0, ∞] に収束することを証明し、C = 1 であるための必要十分条件を提示する。関数 g(t) を用いて、このような過程の成長率を t → ∞ および t → 0 の両方で分類し、自己分解可能かつ無限に分割可能な分布の性質を用いて、さまざまな状況下での明示的な定数 C を同定する。

ABSTRACT

Laws of the iterated logarithm of "limsup" type are studied for multi-dimensional selfsimilar processes $\{X(t)\}$ with independent increments having exponent $H$. It is proved that, for any positive increasing function $g(t)$ with $\displaystyle \lim_{t o\infty}g(t) = \infty$, there is $C\in [0,\infty]$ such that $\limsup|X(t)|/(t^Hg(|\log t|))= C$ a.s. as $t o\infty $, in addition, as $t o 0$. A necessary and sufficient condition for the existence of $g(t)$ with C=1 is obtained. In the case where $g(t)$ with C=1 does not exist, a criterion to classify functions $g(t)$ according to C=0 or $C=\infty$ is given. Moreover, various "limsup" type laws with identification of the positive constants $C$ are explicitly presented in several propositions and examples. The problems that exchange the roles of $\{X(t)\}$ and $g(t)$ are also discussed.

研究の動機と目的

• 時間 t → ∞ および t → 0 の極限における、独立増分を有する多次元自己相似過程の漸近的挙動を扱う。
• lim_{t→∞} g(t) = ∞ を満たす一般の正の増加関数 g(t) に対して、|X(t)|/(t^H g(|log t|)) の limsup 挙動を特徴付ける。
• limsup 定数 C = 1 となるような g(t) の存在に必要な十分条件を確立する。
• C = 1 が達成できない場合、C = 0 または C = ∞ を与える関数 g(t) を分類する。
• limsup の極限における正の定数 C を特定する明示的基準と例を提供する。

提案手法

• 自己相似加法過程（Sato過程）は、時間 1 における自己分解可能分布を有し、自己相似指数 H > 0 を持つことの特徴づけを用いる。
• 無限に分割可能性および Lévy-Khintchine 表現の道具を用い、自己分解可能分布の尾部挙動に注目する。
• 優勢変動、部分乗法的性質、および O-指数的減衰性の概念を用いて、Lévy 測度およびその畳み込み冪の成長を分析する。
• 化合物ポアソン近似を用いて、Lévy 測度の尾部と過程の分布の尾部との間の漸近的同等性を確立する。
• 正規化された尾部確率の liminf および limsup 挙動を分析することで、C = 1 であるための必要十分条件を導出する。
• Watanabe (2008) および Shimura & Watanabe (2005) の結果を応用し、O-指数的減衰性クラスおよび尾部同等性に関する主定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己相似増分過程に対して、t → ∞ および t → 0 のとき、|X(t)|/(t^H g(|log t|)) のほとんど確実な漸近的挙動は何か？
• RQ2 lim_{t→∞} g(t) = ∞ を満たす正の増加関数 g(t) に対して、limsup 定数 C が 1 に等しくなるのはどのような場合か？
• RQ3 C = 1 が達成できない場合、C = 0 または C = ∞ を与える関数 g(t) を分類するための条件は何か？
• RQ4 特定の自己相似過程のクラスに対して、limsup 極限における正の定数 C をどのように明示的に特定できるか？
• RQ5 自己分解可能および無限に分割可能な分布の尾部性質が、過程の成長率を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• 任意の正の増加関数 g(t) で lim_{t→∞} g(t) = ∞ を満たすものに対して、t → ∞ のとき |X(t)|/(t^H g(|log t|)) の limsup はほとんど確実に定数 C ∈ [0, ∞] に収束する。
• C = 1 となるような g(t) の存在に必要な十分条件が、Lévy 測度の尾部挙動および周辺分布の自己分解可能性に基づいて導出された。
• C = 1 となるような g(t) が存在しない場合、Lévy 測度の尾部の成長率に基づいて、C = 0 または C = ∞ を与える g(t) を分類する基準が提示された。
• 安定分布および化合物ポアソン過程を含むいくつかの例において、定数 C の明示的公式が導出された。
• ρ ∈ O(S)（O-指数的減衰性）であることが、ある n ∈ ℕ が存在して、Lévy 測度の尾部の n 重畳み込みも O-指数的減衰性であることに同値であることが示され、尾部挙動と limsup 定数との関連が確立された。
• 化合物ポアソン近似および尾部同等性を用いて、過程の分布の尾部が漸近的に化合物ポアソン分布の尾部と同等であることが証明され、C の明示的同定が可能になった。