[論文レビュー] Lindblad equation for a non-interacting fermionic system: full-counting statistics

M. V. Medvedyeva, Stefan Kehrein|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2013

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、記憶のないレセプタルに結合された非相互作用フェルミオン系におけるフルカウンティング統計を、スーパーフェルミオン形式を用いてリンドブラド方程式フレームワークとして構築する。Liouvillianを二次形式に写像することで、非平衡定常状態における観測量の正確な計算が可能となる。主な貢献は、カウンティング場を導入した生成関数アプローチであり、これによりすべての電荷輸送のモーメントが計算可能となり、$k$ 階のモーメントが系の長さが $k+1$ を超えるとサイズに依存しなくなることが明らかになった。また、リンドブラド法では、レセプタルの干渉効果がないため、位相整合性を持つレードと比較してノイズが低減されていることが示された。

ABSTRACT

We develop a method of calculating the full-counting statistics for a non-interacting fermionic system coupled to the memory-less reservoirs. The evolution of the system is described by the Lindblad equation. By the basis change the Liouvillian operator is brought to the quadratic form. This allows us a straightforward calculation of any observable in the non-equilibrium steady state. We introduce the counting field in the Lindblad equation which brings us to the generating function and helps us to obtain all cumulants of the charge transport. For the two-site system we give the expression for the generating function. For system longer than two sites we perform numerical investigations which suggest that it in a uniform system the cumulants of order $k$ are independent of the size of the system for system sizes larger $k+1$. The counting statistics from the Lindblad approach does not take into account interference in the reservoirs which gives a decreased noise in comparison with the Green function method which describes phase coherent leads. The current obtained by two methods is the same, which relies on the current conservation. The Fano factors are different (with a linear relation connecting them) and allow to distinguish between memory-less and phase coherent reservoirs.

研究の動機と目的

• マーコフ的オープン系ダイナミクス下での非相互作用フェルミオン系におけるフルカウンティング統計を系統的に計算するための手法を開発すること。
• 記憶のないレセプタル（リンドブラド）と位相整合性を持つレード（グリーン関数法）の間で、電流予測は同一であるにもかかわらずノイズレベルに差が生じる理由を解明すること。
• 非平衡定常状態における電荷輸送の高次モーメントが系のサイズにどのように依存するかを調査すること。
• リンドブラド法とメア・ウィングリーン法におけるファノ係数の関係を確立し、その線形関係とレセプタルの記憶効果に起因する物理的起源を強調すること。

提案手法

• 密度行列の時間発展をスーパーフェルミオンヒルベルト空間に写像し、Liouvillianを二次形式の演算子に変換することで、正確な対角化が可能となる。
• カウンティング場をリンドブラド方程式に組み込み、生成関数を用いて電荷移動の確率分布を全般に生成する。
• スーパーフェルミオン表現と二次Liouvillian構造を用いて、2サイト系に対する生成関数を明示的に導出する。
• より長い鎖系に対する数値シミュレーションを実施し、モーメントの系サイズ依存性を調査する。
• Luttinger液体レセプタルを用いたMeir-Wingreen形式と比較し、漸近的ガンマ関数展開を用いて非自明な分布関数を組み込む。
• ガンマ関数の漸近的形を用いて、Luttinger液体レードの低エネルギー分布関数を導出し、電流とノイズの解析的評価を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記憶のないレセプタルに結合された非相互作用フェルミオン系における電荷輸送のフルカウンティング統計は、系のサイズにどのように依存するか？
• RQ2 両者ともに同じ電流を予測するにもかかわらず、リンドブラド法とMeir-Wingreen法の間でノイズレベルに差が生じる理由は何か？
• RQ3 リンドブラド形式下における非平衡定常状態において、電荷輸送のモーメントは系の長さに対してどのようにスケーリングするか？
• RQ4 リンドブラド法とMeir-Wingreen法で得られるファノ係数の関数的関係は何か？
• RQ5 リンドブラド法におけるレセプタルの記憶の欠如は、電荷輸送の高次統計にどの程度の影響を及ぼすか？

主な発見

• 系の長さが $k+1$ を超えると、電荷輸送の $k$ 階モーメントは系のサイズに依存しなくなり、統計的ゆらぎの飽和が示された。
• 無限大のバイアス電圧下で、リンドブラド法による電流はMeir-Wingreenの公式と正確に一致し、両フレームワーク間での電流保存が確認された。
• リンドブラド法では、レセプタルに干渉効果がないため、位相整合性を持つグリーン関数法と比較して、ノイズが体系的に低減されている。
• 両手法から得られるファノ係数は線形関数で関係づけられ、記憶のないレセプタルと位相整合性を持つレセプタルを区別するための診断ツールを提供する。
• 2サイト系の生成関数がスーパーフェルミオン形式で明示的に導出され、電荷分布のすべてのモーメントへの完全なアクセスが可能となった。
• より長い鎖系に対する数値結果は、閾値長さを超えて高次モーメントがサイズに依存しなくなることを確認し、二次Liouvillian構造からの解析的予想を支持した。