[論文レビュー] Line bundles associated with normal surface singularities

András Némethi|arXiv (Cornell University)|Oct 6, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、正則的表面特異点の幾何的 genus とそのリンクの Seiberg-Witten 不変量の間の推測的関係を、解体上の正則的線束を用いて確立する。自然な線束を構成し、Picard の完全系列の分解を実現し、Ozsváth-Szabó Floer homology 不変量を用いることで、有理的特異点の場合にその予想が成り立つことを証明する。

ABSTRACT

Recently L. Nicolaescu and the author formulated a conjecture which relates the geometric genus of a complex analytic normal surface singularity (whose link $M$ is a rational homology sphere) with the Seiberg-Witten invariant of $M$ associated with the ``canonical'' $spin^c$ structure of $M$. Since the Seiberg-Witten theory of the link $M$ provides a rational number for any $spin^c$ structure it was a natural challenge to search for a complete set of conjecturally valid identities, which involve all the Seiberg-Witten invariants (giving an analytic -- i.e. singularity theoretical -- interpretation of them). The formulation of this set of identities is one of the goals of the present article. In fact, we formulate conjecturally valid inequalities which became equalities in special rigid situations. In this way, the Seiberg-Witten invariants determine optimal topological upper bounds for the dimensions of the first sheaf-cohomology of line bundles living on the resolution. Moreover, for $\Q$-Gorenstein singularities and some ``natural'' line bundles equality holds. The first part of the article constructs these ``natural'' holomorphic line bundles. The line-bundle construction is compatible with abelian covers. This allows us to reformulate the conjecture in its second version which relates the echivariant geometric genus (associated with the universal abelian cover of the singular germ) with the Seiberg-Witten invariants of the link $M$. In the last section we verify the conjecture for rational singularities.

研究の動機と目的

• 正則的表面特異点のリンクの Seiberg-Witten 不変量と特異点の解析的不変量を結ぶ完全な恒等式のセットを、推測的に定式化すること。
• 正則的表面特異点の解体 $ \tilde{X} $ 上に自然な正則的線束を構成し、Picard の完全系列の分解を誘導すること。
• 特異点のアーベル被覆を用いて予想を拡張し、同変幾何的 genus とリンク不変量を用いること。
• Ozsváth-Szabó Floer homology と Seiberg-Witten 理論を用いて、有理的特異点の場合に予想を検証すること。
• ホモロジー類の2つの異なる上への持ち上げ $ l'_{e}(h) $ と $ \bar{l}'_{ne}(h) $ の違いを明確にし、それらが幾何的 genus の計算に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• 正則的表面特異点 $ (X,0) $ の解体 $ \tilde{X} $ 上に自然な正則的線束を構成し、交差形式行列の逆行列 $ B^{-1} $ を用いて $ D_j $ を第 $ j $ 列として定義する。
• 交差形式を介した同型 $ L' \cong \text{Hom}(L, \mathbb{Z}) $ を用い、$ D_j $ を $ L_{\mathbb{Q}} $ に埋め込み、$ (D_j, E_i) = \delta_{ji} $ を満たすようにする。
• 2つの正則性条件を定義する：$ L_{\mathbb{Q},e} $ 内の有効サイクルと $ -NE_{\mathbb{Q}} $ 内の数値的に有効なサイクル。$ l'_{e}(h) $ と $ \bar{l}'_{ne}(h) $ はそれぞれ $ l' + L $ 内の最小代表元である。
• 標準的特徴的要素 $ K \in L' $ を $ (K, E_j) = -E_j^2 - 2 $ で定義し、$ K + 2l' $ を用いて $ k_r $、即ち $ \text{spin}^c $ 構造の代表元を定義する。
• 文献[13]の恒等式 $ -\text{sw}^{OSz}_{M,[k]} = \frac{k_r^2 + s}{8} $ を用い、Seiberg-Witten 不変量と $ k_r $ の二乗を関連付ける。
• 恒等式の両辺が有理的ケースで消失することを示すことにより、予想を検証する。具体的には $ h^1(\mathcal{O}_{\tilde{X}}(l')) = 0 $ を $ l' = l'_{ne}(h) $ の場合に示し、両辺が消失することを確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リンク $ M $ のすべての Seiberg-Witten 不変量と特異点の解析的不変量を結ぶ完全な恒等式のセットを、推測的に定式化できるか？
• RQ2 ホモロジー類 $ h $ の2つの異なる持ち上げ $ l'_{e}(h) $ と $ \bar{l}'_{ne}(h) $ は、アーベル被覆の幾何的 genus にどのように影響を与えるか？
• RQ3 幾何的 genus と Seiberg-Witten 不変量の間の推測的恒等式は、有理的特異点において成り立つか？
• RQ4 $ \mathbb{Q} $-Gorenstein 条件が推測的公式における等号を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 普遍アーベル被覆の同変幾何的 genus は、リンクの Seiberg-Witten 不変量とどのように関係するか？

主な発見

• 有理的特異点において、$ \text{sw}^{OSz} $ を用いることで、幾何的 genus と Seiberg-Witten 不変量の間の予想が成り立つ。これは恒等式の両辺が消失することによって示される。
• 有理的特異点では、$ l' = l'_{ne}(h) $ のとき $ h^1(\mathcal{O}_{\tilde{X}}(l')) = 0 $ が成り立ち、線束に高次コホモロジーが存在しないことを示す。
• 恒等式 $ p_g(X_a,0)_{\theta(h)} = \frac{(K + 2\bar{l}'_{ne}(h))^2 - (K + 2l'_{e}(h))^2}{8} $ が成立する。この2乗の差が、各固有空間における幾何的 genus を捉えている。
• $ l'_{e}(h) $ と $ \bar{l}'_{ne}(h) $ は一般には等しくないが、$ A_4 $ 特異点の例でそれが示され、それらのオイラー標数は一致する。
• 双対グラフが $ -2, -3, -3, -3 $ の例では $ p_g(X_a,0)_{\chi} = 1 $ であり、アーベル被覆が有理的でなく、解体に1本の genus 1 曲線を持つことを示している。
• 共役文字 $ \bar{\chi} $ の場合、$ p_g(X_a,0)_{\bar{\chi}} = 0 $ であり、固有空間分解が非自明で、公式と整合的であることが確認された。