[論文レビュー] Line bundles on rigid spaces in the $v$-topology

Ben Heuer|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、特徴が0の完備化体上の滑らかなrigid空間に対して、解析的Picard群と$v$-Picard群の差を記述するホッジ–テイト対数列を確立する。この系列により、$v$-線束が、特に固有または1次元のrigid空間では閉形式によって制御されることを示し、アフィン空間$
\mathbb{A}^n$では、ホッジ–テイト対数の像がちょうど閉1形式からなることが判明し、$v$-線束が分裂を除いてHiggs束と関連づけられる。

ABSTRACT

For a smooth rigid space $X$ over a perfectoid field extension $K$ of $\mathbb Q_p$, we investigate how the $v$-Picard group of the associated diamond $X^\diamondsuit$ differs from the analytic Picard group of $X$. To this end, we construct a left-exact "Hodge--Tate logarithm" sequence \[0 o \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) o \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) o H^0(X,Ω_X^1)\{-1\}.\] We deduce some analyticity criteria which have applications to $p$-adic modular forms. For algebraically closed $K$, we show that the sequence is also right-exact if $X$ is proper or one-dimensional. In contrast, we show that for the affine space $\mathbb A^n$, the image of the Hodge--Tate logarithm consists precisely of the closed differentials. It follows that up to a splitting, $v$-line bundles may be interpreted as Higgs bundles. For proper $X$, we use this to construct the $p$-adic Simpson correspondence of rank one.

研究の動機と目的

• 特徴が0の完備化体上の滑らかなrigid空間の解析的Picard群と$v$-Picard群の違いを理解すること。
• \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X)$、$\mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit)$、および$H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$を関連付けるホッジ–テイト対数列を構成すること。
• この系列が右完全となる条件を特定すること、特に固有または1次元のrigid空間の場合に注目すること。
• $p$-進モジュラー形式への応用と、ランク1の$p$-進Simpson対応を構成すること。

提案手法

• 左完全なホッジ–テイト対数列を構成する：$0 \to \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) \to \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) \to H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$。
• $p$-進対数を用いて、$v$-線束から twisted 1形式の層への準同型を定義する。
• 球体$B_s$に関する極限とコhomologicalな技法を用いて、固有または1次元のrigid空間に対して右完全性を証明する。
• アフィン空間$\mathbb{A}^n$の場合は、$B_s \times \mathbb{A}$に制限して、対数の像が閉形式に含まれることを示す。
• de Rham複体と$\mathcal{O}(\mathbb{A}^n)$上の微分の完全性を用いて、像に含まれるのは閉形式に限ることを示す。
• 引き戻しと埋め込みを用いて、高次元の場合を$n=2$の場合に還元し、$df \neq 0$のとき矛盾を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 rigid空間の$v$-Picard群は、その解析的Picard群とどのように異なるか？
• RQ2 固有または1次元のrigid空間に対して、ホッジ–テイト対数列は右完全か？
• RQ3 $\mathbb{A}^n$におけるホッジ–テイト対数の像は何か？
• RQ4 $p$-進設定において、$v$-線束はHiggs束と解釈可能か？
• RQ5 この対数列から、$p$-進モジュラー形式への応用に向けた解析的条件をどのように導けるか？

主な発見

• 完備化体$K$上の滑らかなrigid空間$X$に対して、左完全なホッジ–テイト対数列が存在する：$0 \to \mathrm{Pic}_{\mathrm{an}}(X) \to \mathrm{Pic}_v(X^\diamondsuit) \to H^0(X, \Omega^1_X)\{-1\}$。
• 体$K$が代数的に閉包されているとき、$X$が固有または1次元で、かつパラコンパクトであれば、この系列は右完全である。
• 特に$X = \mathbb{A}^n$の場合、ホッジ–テイト対数の像はちょうど閉1形式の空間に一致する、すなわち$\mathrm{im}(\mathrm{HT}\log) = H^0(\mathbb{A}^n, \widetilde{\Omega}^1)^{d=0}$。
• $\mathbb{A}^n$上の$v$-線束は、閉1形式を全微分形式で割った群と同型であり、分裂を除いて一致する。
• 固有な$X$に対して、このホッジ–テイト系列を用いてランク1の$p$-進Simpson対応が構成される。
• 過収束モジュラー形式の層が解析的であることが、$v$-線束がZariski稠密な開集合に制限して解析的であるならば、その条件を用いて示された。