[論文レビュー] Line-Bundles on Stacks of Relative Maps

Eric Katz|ArXiv.org|Jul 15, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、相対的およびラバーマップのモジュライスタック上の自然なラインバンドルの関係を確立し、相対的グロモフ＝ウィッテン不変量のデジェネレーション公式の構築を可能にする。また、相対的グロモフ＝ウィッテン理論における局所化形式論に不可欠な技術的結果である自明なシリンダー定理を、退化スタック上のラインバンドル系とその仮想サイクルの解析によって証明する。

ABSTRACT

This paper provides some technical results needed in "Formalism for Relative Gromov-Witten Invariants." We study line-bundles on the moduli stacks of relative stable and rubber maps that are used to define relative Gromov-Witten invariants in the sense of J. Li. Relations between these line-bundles yield degeneration formulae. In addition we prove a technical result called the Trivial Cylinders Theorem.

研究の動機と目的

• モジュライスタック上の自然なラインバンドルを相対的およびラバーマップに対して研究し、幾何的関係を導出すること。
• モジュライスタックのファイバー積上のラインバンドルの関係を解析することで、相対的グロモフ＝ウィッテン不変量のデジェネレーション公式を確立すること。
• 相対的グロモフ＝ウィッテン理論における形式論に不可欠な基礎的技術的結果である自明なシリンダー定理を証明すること。
• ラインバンドル $\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$, $\operatorname{Split}$, および $\operatorname{L}^{\infty}$ の幾何的意味を、それらの零点集合を用いて明確化すること。
• 退化スタック上のラインバンドル系とそのユニバーサルターゲットに対する体系的な枠組みを提供すること。

提案手法

• 退化スタック $\mathcal{Z}^{\text{rel}}$ および $\mathcal{A}^{\text{rel}}$ 上のラインバンドル系を、包含写像および $\mathbb{C}^*$-作用における遷移性を用いて定義する。
• スタック $\mathcal{M}(\mathcal{Z},\Gamma)$ 上の主要なラインバンドル $\operatorname{Dil}$, $\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$ を構成し、また $\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)$ 上の $\operatorname{Split}$, $\operatorname{L}^{0}$, $\operatorname{L}^{\infty}$, $\operatorname{L}_{i,\text{not top}}$, $\operatorname{L}_{i,\text{not bot}}$ を構成する。
• 幾何的解釈を導出する：$\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$ の零点集合は、$i$ 番目のマークド点が $Z$ の外側に写される写像をパラメトライズする。$\operatorname{Split}$ は分裂写像上で消える。
• 分裂写像をモデル化し、ラインバンドルを関連付けるために、ファイバー積構成 $\mathcal{M}(\mathcal{Z},\Gamma_Z) \times_{\mathcal{Z}^{\text{rel}}} \mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_A)$ を用いる。
• 仮想プッシュバックおよびギジン写像を適用し、仮想サイクルを比較する：$[\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})]^{\text{vir}} = [\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)]^{\text{vir}} \times_{\mathcal{A}^{\text{rel}}} [{\mathcal{MT}}]$。
• ギジン写像の自然性およびコーンサイクル分解を活用し、$v_*([\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})]^{\text{vir}}) = \frac{1}{r}[\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)]^{\text{vir}} \times [X]$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相対的およびラバーマップのスタック上の自然なラインバンドルは、幾何的およびコホロロジー的にどのように関係するか？
• RQ2 モジュライスタックのファイバー積上のラインバンドルの関係は、相対的グロモフ＝ウィッテン不変量のデジェネレーション公式をどのように導くか？
• RQ3 ラインバンドル系と仮想サイクルを用いて、自明なシリンダー定理を形式的にどのように確立できるか？
• RQ4 ラインバンドル $\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$, $\operatorname{Split}$, $\operatorname{L}^{\infty}$, および $\operatorname{L}_{i,\text{not top}}$ の正確な幾何的意味は何か？
• RQ5 ファイバー積および $\mathbb{C}^*$-作用を介して、分裂写像スタック上の仮想サイクルは、元のモジュライスタック上の仮想サイクルとどのように関係するか？

主な発見

• スタック $\mathcal{M}(\mathcal{Z},\Gamma)$ 上のラインバンドル $\operatorname{L}_{i,\text{ext}}$ は、$\operatorname{ev}_i^*\mathcal{O}(D) = \operatorname{L}_{i,\text{ext}}$ を満たし、その零点集合は $i$ 番目のマークド点が $Z$ に写されない写像をパラメトライズする。
• $\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)$ 上では関係 $\operatorname{L}^0 \otimes \operatorname{L}^\infty = \operatorname{Split}$ が成り立ち、$\operatorname{Split}$ は正確に分裂写像上で消える。
• ラインバンドル $\operatorname{L}_{i,\text{not top}}$ および $\operatorname{L}_{i,\text{not bot}}$ は、それぞれ $\operatorname{L}^0 \otimes \operatorname{ev}_i^*L^\vee = \operatorname{L}_{i,\text{not top}}$ および $\operatorname{L}^\infty \otimes \operatorname{ev}_i^*L = \operatorname{L}_{i,\text{not bot}}$ を満たす。
• 自明なシリンダー定理は、同型 $\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|}) \cong \mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma) \times_{\mathcal{A}^{\text{rel}}} \mathcal{MT}$ を用いて証明され、仮想サイクルが $[\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})]^{\text{vir}} = [\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)]^{\text{vir}} \times_{\mathcal{A}^{\text{rel}}} [{\mathcal{MT}}]$ のように引き戻されることを示す。
• $\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})$ の仮想サイクルは $v_*([\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma_{|})]^{\text{vir}}) = \frac{1}{r}[\mathcal{M}(\mathcal{A},\Gamma)]^{\text{vir}} \times [X]$ を満たす。ここで $r$ は $\mathbb{C}^*$-作用の次数である。
• この構成により、分裂写像スタック上の仮想サイクルが積構造と整合しており、$\mathbb{C}^*$--equivariant 形式論を尊重することが確認され、相対的グロモフ＝ウィッテン理論における局所化に不可欠である。