[論文レビュー] Line operators in supersymmetric gauge theories and the 2d-4d relation

Takuya Okuda|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、2次元-4次元関係を用いて、4次元 $σ=2$ スーパーレジストレーショングラフ理論における直線演算子と2次元 conformal field theory (CFT) の間の明確な対応関係を確立する。局在化とCFT技法を用いて、BPS Wilson 側と 't Hooft 側の期待値を正確に計算する。線型演算子の代数が、非可換な融合則がシンプレクティック双対性とS双対性に関連する、量子化されたヒチンモジュライ空間と同型であることを示し、$σ=4$ および $σ=2$ の理論が $σ^4$ および $σ^3$ 上で正確な結果をもたらす。

ABSTRACT

This is the sixth article in the collection of reviews "Exact results on N=2 supersymmetric gauge theories", ed. J.Teschner. It is discussed how to use localisation techniques for the calculation of expectation values of Wilson and 't Hooft line operators. The results establish direct connections between supersymmetric line operators in gauge theories and the Verlinde line operators known from conformal field theory. Similar results can be used to strongly support connections to the quantum theories obtained from the quantisation of the Hitchin moduli spaces.

研究の動機と目的

• 4次元 $σ=2$ スーパーレジストレーショングラフ理論と2次元 conformal field theory (CFT) の間の明確な数学的・物理的対応関係を、2次元-4次元関係を通じて確立すること。
• $σ^4$ および $σ^3$ 上での局在化技法を用いて、BPS Wilson 側および 't Hooft 側の直線演算子の期待値を正確に計算すること。
• 重み格子およびコ重み格子における電荷を通じて直線演算子のスペクトルを分類し、リーマン面上の幾何的データと関連付けること。
• 直線演算子の非可換代数を導出し、それが量子化されたヒチンモジュライ空間と同型であることを示すこと。
• 離散的θ角と相互局所性の役割を明らかにし、$σ=2$ 理論における直線演算子スペクトルとS双対性の分類に寄与すること。

提案手法

• Pestunの局在化法を適用し、$σ^4$ 上でのWilson 側および 't Hooft 側の期待値を正確に計算することで、4次元ゲージ理論を有限次元の行列モデルに還元する。
• AGT対応を用いて、4次元直線演算子の期待値を2次元リーマンCFTにおける相関関数に写像し、Verlinde演算子が融合則を符号化することを示す。
• モノポールのモジュライ空間上の超対称量子力学を用いて、直線演算子の演算子積展開 (OPE) を構築する。
• 直線演算子の非可換代数が、リーマン面 $C$ とゲージ群 $G$ に対するヒチンモジュライ空間 $\mathcal{M}_H(C, G)$ の量子化と同型であることを関連付ける。
• 6次元 $(0,2)$ 理論を穴あきリーマン面上に compactify することにより、$σ=2$ クラス $σ$ の構成を用いて2次元-4次元対応を実現する。
• $σ^3_b$ の境界における $σ_b$ と $σ_{1/b}$ のチャイナルリングのシンプレクティック双対性を用いて、$(-1)^{\langle \gamma_1, \gamma_2 \rangle}$ の統計を持つ非アーベル融合則を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $σ=2$ ゲージ理論におけるBPS直線演算子は、2次元CFTの演算子と2次元-4次元対応によってどのように関係するか？
• RQ2 直線演算子の代数の正確な構造は何か？ そして、ヒチンモジュライ空間の量子化とどのように関係するか？
• RQ3 離散的θ角と相互局所性の条件は、$σ=2$ 理論における直線演算子スペクトルをどのように制約するか？
• RQ4 $σ^4$ 上での局在化結果と2次元リーマンCFTの相関関数との正確な関係は何か？
• RQ5 S双対変換は、直線演算子のスペクトルおよびその融合則にどのように作用するか？

主な発見

• 4次元 $σ=4$ スーパーユーグラフ理論における半BPS円形Wilson 側の期待値は、ガウス行列モデルによって正確に計算され、[4]の予想が $1/N$ および 't Hooft結合子のすべての次数で正当化される。
• $σ^4$ 上での局在化により、Wilson 側および 't Hooft 側の両方の期待値が正確に得られ、インスタントン/モノポール双対性が電気的および磁気的演算子の双対性を提供する。
• 2次元-4次元対応により、4次元直線演算子は2次元リーマンCFTにおけるVerlinde演算子に写像され、融合則はリーマン理論の $F$-シンボルに符号化される。
• 直線演算子の非可換代数は、ヒチンモジュライ空間上の関数の量子化代数と同型であり、交換関係 $L_{\gamma_1}^{(b)} \cdot L_{\gamma_2}^{(1/b)} = (-1)^{\langle \gamma_1, \gamma_2 \rangle} L_{\gamma_2}^{(1/b)} \cdot L_{\gamma_1}^{(b)}$ を満たす。
• 互いに局所的な直線演算子のスペクトルは、$\langle \gamma_1, \gamma_2 \rangle$ が偶数であるという条件によって制約され、ヒチンモジュライ空間が有限群 $\Delta$ による商に相当する。
• $A_1$-型クラス $σ$ 理論では、リーマン面上に三価グラフ $\Gamma$ を用いて2次元-4次元対応が実現され、内部辺には $SU(2)$ ゲージ群、頂点には三重合同物が配置される。