[論文レビュー] Lineability of the set of bounded linear non-absolutely summing operators

Geraldo Botelho, Diogo Diniz+1 more|ArXiv.org|Nov 1, 2008

Advanced Banach Space Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、超反射的でない空間における有界線形非絶対的和分可能作用素の線形包合性に関する問題を解決する。特に、病理的でない場合、定義域空間が超反射的で、終域空間に無限個の無条件基本列を含む限り、そのような作用素の集合は線形包合的であることを証明する。証明では、添え字集合を無限個の互いに素な無限部分集合に分解することで、非絶対的和分可能作用素の無限次元部分空間を構成する。この方法は、発散級数と無条件基底技術の新規応用により、非絶対的(q,1)-和分可能作用素を含むさまざまな作用素イデアルへと拡張可能である。

ABSTRACT

In this note we solve, except for extremely pathological cases, a question posed by Puglisi and Seoane-Sepulveda on the lineability of the set of bounded non-absolutely summing linear operators. We also show how the idea of the proof can be adapted to several related situations.

研究の動機と目的

• 超反射的バナッハ空間における有界線形非絶対的和分可能作用素の線形包合性に関する、PuglisiとSeoane-Sepúlvedaが提起した問題を解決すること。
• 定義域および終域空間の十分条件を同定することで、線形包合性結果を非絶対的(q,1)-和分可能作用素へ拡張すること。
• 関与する空間にやや弱い構造的仮定を課した場合、そのような作用素の集合が無限次元部分空間を生成することを示すこと。
• コア的な構成を異なる設定に適応させることで、さまざまな作用素イデアルに適用可能な一般的手法を提供すること。

提案手法

• 自然数を無限個の互いに素な無限部分集合に分解し、定義域空間内に独立した部分空間を特定する。
• 無条件基底性を用いて、各部分空間が同じ基底構造を引き継ぎ、補完可能であることを保証する。
• 既知の非一致結果を活用し、各部分空間上でコンパクトだが絶対的p-和分可能でない作用素を構成する。
• 射影を用いてこれらの作用素を統合し、全体空間上の有界だが絶対的p-和分可能でない作用素族を形成する。
• 発散級数に関する補題を適用し、各成分における弱いp-和分可能列に沿ってノルムの和が無限に発散することを保証する。
• 終域空間の型および定義域空間のμ不変量を用いて、非絶対的(q,1)-和分可能作用素への一般化を図る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超反射的空間から任意のバナッハ空間への有界線形非絶対的和分可能作用素の集合は線形包合的か？
• RQ2 終域空間の型および定義域空間のμ不変量に条件を課した場合、非絶対的(q,1)-和分可能作用素の線形包合性は確立可能か？
• RQ3 終域空間に無限個の無条件基本列が存在するか、または定義域空間に補完可能な無条件部分空間が存在する場合、その差集合の線形包合性が保証されるか？
• RQ4 絶対的和分可能作用素を越えて、他の作用素イデアルに対してもこの構成を適応可能か？
• RQ5 非絶対的和分可能作用素の線形包合性を保証するための、定義域および終域空間における最小限の構造的仮定は何か？

主な発見

• 定義域空間Eが無限次元で補完可能な無条件基底を備える部分空間を有する、または終域空間Fに無限個の無条件基本列を含む場合、EからFへの有界線形作用素で絶対的p-和分可能でないものの集合は線形包合的である。
• 絶対的p-和分可能でない作用素の任意の有限線形結合は、依然として非絶対的p-和分可能であり、したがって無限次元部分空間を形成する。
• 非絶対的(q,1)-和分可能作用素に対しては、1 ≤ q < cot F かつ μ_E > q のとき線形包合性が成立する。ここで cot F はFの型の下限である。
• この方法はℓ_pおよびc_0のような空間へ適用可能であり、p > q かつ q < cot F のとき、L(ℓ_p; F) \\(Π_{q,1}(ℓ_p; F) が線形包合的であることを示す。
• 構造的仮定のもとで結果は頑健である：Fが無限個の独立した無限次元部分空間を含み、かつ各部分空間上で差集合が非空であれば、線形包合性が成立する。
• 証明技法は、各成分部分空間における弱いp-和分可能列に沿ってノルムの和が発散することを保証することで、他の作用素イデアルへ一般化可能である。