[論文レビュー] Linear-algebraic Lambda-calculus: higher-order, encodings and confluence

Pablo Arrighi, Gilles Dowek|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2006

Polynomial and algebraic computation被引用数 27

ひとこと要約

この論文は、項の線形結合（a.t + b.u）を含む最小限の高階型ラムダ計算を導入し、線形作用素の上での計算を可能にする。線形性と高階計算に基づくリライトシステムを定義し、その中心的貢献としてコンフラuent性を証明する。応用分野には量子計算と線形論理がある。

ABSTRACT

We introduce a minimal language combining both higher-order computation and linear algebra. Roughly, this is nothing else than the Lambda-calculus together with the possibility to make linear combinations of terms a.t+b.u. We describe how to "execute" this language in terms of a few rewrite rules, and justify them through the two fundamental requirements that the language be a language of linear operators, and that it be higher-order. We mention the perspectives of this work in field of quantum computation, which we show can be easily encoded in the calculus, as well as in other domains such as the interpretation of linear logic. Finally we prove the confluence of the calculus, this is our main result. Keywords: quantum programming language, quantum control, quantum logic, probabilistic and quantitative analysis, rewriting techniques.

研究の動機と目的

• ラムダ計算の最小限の拡張を通じて、高階計算と線形代数を統合すること。
• 線形作用素の代数的構造を尊重しつつ、高階関数を保持する計算モデルを定義すること。
• リライト技法を用いて、量子プログラムや線形論理についての議論の基盤を確立すること。
• 計算の決定的性を保証するため、この計算体系のコンフラuent性を主な技術的貢献として証明すること。

提案手法

• スカラ a と b を用いて、a.t + b.u のような項の形式的線形結合をラムダ計算に拡張する。
• 線形性と高階構造を保つリライト規則の集合を定義し、ベクトル空間の公理と整合性を保証する。
• 完全な高階関数（関数の適用と抽象化を含む）をサポートするように計算体系を設計する。
• 分配法則と線形性を尊重するリライト規則を用いて、計算をシミュレートする。
• 線形作用素の言語としての性質と、高階計算をサポートするという二重の要件に基づいて、リライトシステムの正当性を裏付ける。
• 項とリライト規則の構造に基づく臨界ペア解析を用いて、コンフラuent性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階計算を、型安全かつ計算的に意味のある方法で、線形代数と自然に統合するにはどうすればよいか？
• RQ2 線形性と高階動作の両方を保証するために、ラムダ計算の拡張に必要な最小限のリライト規則は何か？
• RQ3 得られた計算体系は、量子計算や線形論理への応用をサポートできるか？
• RQ4 計算の順序に関係なく、一意な正規形に収束するという意味で、この計算体系はコンフラuentか？
• RQ5 関数の抽象化と適用の下で、線形結合の代数的構造はどのように保たれるか？

主な発見

• 提案された計算体系はコンフラuentであり、与えられた項から出発するいかなる還元列に対しても、一意な正規形に収束することが保証される。
• この計算体系は、項の線形結合を用いて、量子プログラムを自然に符号化できる。
• リライトシステムはベクトル空間の公理と整合的であり、計算中に線形性が保たれる。
• この計算体系は完全な高階機能を維持しており、関数が線形結合内で第一級の値として扱える。
• このシステムは、その代数的構造を通じて、線形論理や確率的推論の解釈の基盤を提供する。
• コンフラuent性の結果は、リライト規則の臨界ペア解析に基づいて確立され、計算モデルの整合性が確認された。