[論文レビュー] Linear Batalin-Vilkovisky quantization as a functor of $\\infty$-categories

Owen Gwilliam, Rune Haugseng|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2016

Advanced Topics in Algebra被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、導来的およびシフト構造を用いて、∞-圏間の対称モノイダル関手として線形バタリン＝ヴィルコヴィチ（BV）量子化を構成する。これは、(1−n)-シフトされたシンプレクティック対合を持つコチェイン複体へのウェイル量子化の一般化であり、ヘイゼンベルクリー代数と普遍包あくり代数を介してEₙ代数への関手的量子化を確立する。導来幾何学および高次BV理論への応用を含む。

ABSTRACT

We study linear Batalin-Vilkovisky (BV) quantization, which is a derived and shifted version of the Weyl quantization of symplectic vector spaces. Using a variety of homotopical machinery, we implement this construction as a symmetric monoidal functor of $\\infty$-categories. We also show that this construction has a number of pleasant properties: It has a natural extension to derived algebraic geometry, it can be fed into the higher Morita category of $E_n$-algebras to produce a "higher BV quantization" functor, and when restricted to formal moduli problems, it behaves like a determinant. Along the way we also use our machinery to give an algebraic construction of $E_n$-enveloping algebras for shifted Lie algebras.

研究の動機と目的

• 線形バタリン＝ヴィルコヴィチ量子化を∞-圏の言語で関手として形式化すること。
• この構成を導来代数幾何学およびEₙ代数などの高次構造へ拡張すること。
• 形式的モジュライ問題における行列式の性質を示すホモトピー的枠組みをBV量子化に提供すること。
• ∞-圏的道具立てを用いて、シフトされたリー代数に対するEₙ包あくり代数を代数的に構成すること。

提案手法

• ∞-圏およびモデル圏を用いて、可換微分付き複体上のホモトピー的代数を可能にするモジュールおよびオペラド代数を定義する。
• ヘイゼンベルクリー代数の構成を、(1−n)-シフトされた歪対称対合を持つコチェイン複体に適用する。
• 古典的構成を導来設定へと上げるために、∞-圏レベルでの普遍包あくり代数関手を構成する。
• 量子化手順を、シフトされたシンプレクティック複体の∞-圏からE₀代数（ポイント付き複体）への対称モノイダル関手として実装する。
• ファイブランス補完および局所化技術を用いて単体的圏で∞-圏をモデル化し、関手性を保証する。
• この道具立てを用いて、線形BV関手を高次モリタ圏のEₙ代数へ組み込むことにより、高次BV量子化を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形BV量子化は、∞-圏間の対称モノイダル関手として形式化可能か？
• RQ2 線形BV量子化は、導来代数幾何学および形式的モジュライ問題へどのように拡張されるか？
• RQ3 BV量子化と導来幾何学における行列式構成との関係は何か？
• RQ4 ∞-圏的手法を用いて、シフトされたリー代数に対するEₙ包あくり代数をどのように代数的に構成できるか？
• RQ5 ヘイゼンベルクリー代数は、高次BV量子化およびAKSZ型理論において果たす役割は何か？

主な発見

• 線形BV量子化は、(1−n)-シフトされたシンプレクティック対合を持つコチェイン複体の∞-圏からE₀代数の∞-圏への対称モノイダル関手として実現される。
• この構成は導来代数幾何学へ自然に拡張され、関手性および導来スタックとの整合性を保つ。
• 形式的モジュライ問題に制限した場合、線形BV関手は行列式のように振る舞い、幾何学的ラングランズ理論およびインデックス理論との深い関係を示唆する。
• 本稿は、∞-圏的モデル構造を用いて、シフトされたリー代数に対するEₙ包あくり代数の代数的構成を提供する。
• 量子化関手は高次モリタ理論と整合性があり、モリタ∞-圏との合成により、高次BV量子化関手を体系的に構成可能である。
• 導来的・シフト的ウェイル量子化は、ポisson括弧を持つ対称代数の変形量子化として示され、ħ→0の極限で古典的極限を回復する。