[論文レビュー] Linear clique-width and modular decomposition

Robert Brignall, Michal Opler+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2026

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ひとこと要約

論文は、遺伝的グラフクラスが線形クリーク幅を境界付きに持つ iff その素子 members が持つ場合に限り、かつ全ての準閾値グラフまたは準対閾値グラフの互換体を含まないことを示し、コグラフから一般のグラフクラスへの既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

A hereditary class of graphs has bounded clique-width if and only if its prime members do, but this lifting property fails for linear clique-width. We prove that a hereditary class has bounded linear clique-width if and only if its prime members do and it contains neither all quasi-threshold graphs nor all complements of quasi-threshold graphs. This generalizes a result of Brignall, Korpelainen, and Vatter, who established the result for cographs.

研究の動機と目的

• 遺伝的グラフクラスがその素因子誘導部分グラフに基づいて境界付き線形クリーク幅を持つかを決定する。
• 素子から全体クラスへの境界付き lcw のリフティングを妨げる障害を特定する。
• コグラフから任意の遺伝的クラスへの既知の結果を一般化する。
• 重いウィル・クオール順序理論を避けるモジュラー分解ベースの枠組みを提供する。

提案手法

• 線形クリーク幅 (lcw) とラベル付き lcw 式を定義・使用する。
• 普遍的準閾値グラフ Qt および共準閾値グラフ Qs を導入し、その障害役割を示す。
• G = H[Gv : v in V(H)] に対してモジュラー分解を適用し、lcw(G) を lcw(H) および lcw(Gv) との関係で関連付ける（命題 3.2–3.5）。
• 命題 4.1 により、素因子界 m とパラメータ t,s に基づく lcw の境界 (m+2)(t+s) を証明する。
• ウィル順序理論機構を避け、モジュラー分解と明示的構成を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素因子誘導部分グラフに基づいて遺伝的グラフクラスは境界付き lcw を持つか。
• RQ2 準閾値グラフとその補集合は、素から全体への lcw のリフティングに対する唯一の障害か。
• RQ3 モジュラー分解は一般のグラフクラスのための直接的な、非 wqo ベースの境界 lcw の特徴付けを導くことができるか。

主な発見

• 遺伝的クラスは、その素子メンバーが境界付き lcw を持ち、かつ全ての準閾値グラフおよび全ての共準閾値グラフを含まない場合に限り、境界付き線形クリーク幅を持つ（定理 1.2）。
• 準閾値グラフとその補集合は、素から全体への lcw のリフティングに対する唯一の障害である（コグラフの結果を一般化）。
• G = H[Gv : v in V(H)] に対して、lcw(G) ≤ lcw(H) + max_v lcw(Gv)（命題 3.2）；H が完全または反完全な場合、この界は lcw(G) ≤ 1 + max_v lcw(Gv) に改善される（命題 3.3）。
• もしグラフ G の素因子誘導部分グラフの lcw が m 以下で、lcw(G) が大きい場合（≥ (m+2)(t+s)）、G は Qt または Qs を誘導部分グラフとして含む（命題 4.1）。