[論文レビュー] Linear Codes With Two or Three Weights From Some Functions With Low Walsh Spectrum in Odd Characteristic

Guangkui Xu, Xiwang Cao|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 33被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、奇数の特徴において低ワルシュスぺクトルを示す関数を用いて、2つまたは3つの重みを持つ線形符号を構築する。提案された符号は、線形符号に関する既知の境界を満たすことで最適性または準最適性を達成し、暗号化やデータ保存への応用の可能性を示している。

ABSTRACT

Linear codes with few weights have applications in authentication codes, secrete sharing schemes, association schemes, consumer electronics and data storage system. In this paper, several classes of linear codes with two or three weights are obtained from some functions with low Walsh spectrum in odd characteristic. Numerical results show that some of the linear codes obtained are optimal or almost optimal in the sense that they meet certain bounds on linear codes.

研究の動機と目的

• 認証コード、秘密分散方式、およびデータ保存システムに使用するための、重みが少ない線形符号の開発。
• 奇数の特徴における低ワルシュスぺクトル関数を用いた線形符号の構築の調査。
• 得られた符号が、線形符号の性能に関する既知の境界を満たすか、それに近いかを特定すること。
• 最小距離に関して、いくつかの符号が最適または準最適であるという数値的証拠を提供すること。

提案手法

• 奇数の特徴における低ワルシュスぺクトル関数を活用して線形符号を生成する。
• 有限体の奇数の特徴における符号の構築にトレース関数を適用する。
• ワルシュ変換を用いて関数のスペクトル的性質を分析し、符号の重み分布を導出する。
• 既知の線形符号に関する境界を適用して、構築された符号の最適性を評価する。
• 符号の長さ、次元、最小距離などのパラメータを検証するための数値的分析を実施する。
• 非ゼロ重みの数（2つまたは3つ）および構造的性質に基づいて符号を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇数の特徴における低ワルシュスぺクトル関数を用いて、2つまたは3つの重みを持つ線形符号を構築できるか？
• RQ2 得られた線形符号は、線形符号の最小距離に関する既知の境界を満たすか、それに近いか？
• RQ3 構築された符号の重み分布は何か、そしてそれが応用可能性とどのように関係するか？
• RQ4 最適または準最適な符号をもたらす特定の関数クラスは存在するか？
• RQ5 文献に知られている最適符号と比較して、構築された符号のパラメータはどのように異なるか？

主な発見

• 奇数の特徴における低ワルシュスぺクトル関数を用いて、2つまたは3つの重みを持つ複数の線形符号クラスが成功裏に構築された。
• 構築された符号は、既知の線形符号に関する境界を満たすか、それに密接に近づけることで、最適性または準最適性を達成した。
• 数値的結果により、いくつかの符号が与えられた長さと次元に関して最小距離の観点で最適であることが確認された。
• 符号の重み分布は、基礎となる関数のスペクトル的性質に基づいて明示的に決定された。
• この手法は、認証およびデータ保存に適した符号を体系的に生成するアプローチを提供する。
• 結果として、奇数の特徴における既知の2重みおよび3重み符号のクラスが拡張され、符号理論に貢献した。