[論文レビュー] Linear collective collocation and Galerkin approximations for parametric and stochastic elliptic PDEs

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、アフィンパラメトリック依存性を有する高次元パラメトリックおよび確率的楕円型PDEに対して、線形集合近似法（テイラー展開、コロケーション、ガレルキン法）を導入する。弱い正則性条件下でも、これらの手法は非パラメトリックな有限要素近似と同等の収束速度を達成し、次元の呪いを克服するとともに、明示的な定数を伴う最適な誤差境界を維持する。

ABSTRACT

Consider the parametric elliptic problem \begin{equation} - \operatorname{dv} \big(a(y)(x) abla u(y)(x)\big) \ = \ f(x) \quad x \in D, \ y \in [-1,1]^\infty, \quad u|_{\partial D} \ = \ 0, \end{equation} where $D \subset {\mathbb R}^m$ is a bounded Lipschitz domain, $[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$, and the diffusions $a$ satisfy the uniform ellipticity assumption and are affinely dependent with respect to $y$. The parametric variable $y$ may be deterministic or random. In the present paper, a central question to be studied is as follows. Assume that we have an approximation property that there is a sequence of finite element approximations with a certain error convergence rate in energy norm of the space $V:=H^1_0(D)$ for the nonparametric problem $- \operatorname{dv} \big(a(y_0)(x) abla u(y_0)(x)\big) = f(x)$ at every point $y_0 \in [-1,1]^\infty$. Then under what assumptions does this sequence induce a sequence of finite element approximations with the same error convergence rate for the parametric elliptic problem in the norm of the Bochner spaces $L_\infty([-1,1]^\infty,V)$ or $L_2([-1,1]^\infty,V)$? We solved this question by linear collective Taylor, collocation and Galerkin methods, based on Taylor expansions, Lagrange polynomial interpolations and Legendre polynomials expansions, respectively, on the parametric domain $[-1,1]^\infty$. Under very light conditions, we show that all these approximation methods give the same error convergence rate as that by the sequence of finite element approximations for the nonparametric elliptic problem. The parametric infinite-variate part completely disappears from the convergence rate and influences only the constant. Hence the curse of dimensionality is broken by linear methods.

研究の動機と目的

• 非パラメトリック楕円型PDEに対して与えられた収束速度を持つ有限要素近似列が、対応するパラメトリック問題に対しても同じ収束速度を示す条件を同定すること。
• パラメータ数が可算無限である高次元パラメトリックPDEにおける次元の呪いを解消すること。
• 空間的およびパラメトリック変数を分離せずに同時に扱う線形集合近似スキームの構築。
• 非パラメトリック速度と一致する収束速度を、ボッホナー空間 $L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ および $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ において確立すること。
• アフィンパラメトリック依存性のもとで、$\ell_p$-summability 条件を満たす場合、パラメトリック依存性が定数に影響を及えるものの、収束速度を劣化させないことを示すこと。

提案手法

• 無限次元パラメトリック領域 $\mathbb{I}^\infty$ 上でのテイラー展開、ラグランジュ補間、ルジャンドル多項式展開を用いて、線形集合テイラー、コロケーション、ガレルキン近似を構築する。
• 非パラメトリック問題に対する有限要素近似列をベースとし、それをパラメトリックケースにおける集合近似フレームワークに誘導する。
• パラメトリック導関数の減衰を制御するパrameter $b$ を用いて、$\sigma_s^{-1} = \frac{|s|!}{s!} b^s$ で定義される列 $\sigma_s$ を用いたルジャンドル展開に基づく手法を適用する。
• パラメトリック正則性を制御するため、$0 < p < 1$ に対して $\|\psi_j\|_{W^{1}_\infty(D)} \in \ell_p(\mathbb{N})$ という $\ell_p$-summability 条件を課す。
• 列 $\sigma_s$ を用いてパラメトリック導関数の成長を推定し、補間理論および近似理論を適用することで、ボッホナーノルムにおける誤差境界を導出する。
• 拡散係数および領域正則性に関する弱い仮定の下で、$L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ や $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ における収束速度が非パラメトリック速度と一致することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非パラメトリック楕円型PDEに対して与えられた収束速度を持つ有限要素近似列が、ボッホナー空間ノルムにおいてパラメトリック版に対しても同じ速度を達成する条件は何か？
• RQ2 無限次元パラメータ空間を有するパラメトリック楕円型PDEにおいて、線形集合近似法が次元の呪いを克服できるか？
• RQ3 アフィンパラメトリック依存性および導関数係数の $\ell_p$-summability が、集合近似の収束速度に与える影響は何か？
• RQ4 空間的およびパラメトリック変数を分離しない形で、パラメトリック正則性をどの程度活用できるか？
• RQ5 線形で侵襲的でない手法を用いて、$L_\infty(\mathbb{I}^\infty, V)$ および $L_2(\mathbb{I}^\infty, V)$ においても同じ収束速度を維持できるか？

主な発見

• 線形集合ガレルキンおよびコロケーション法は、ベースとなる非パラメトリック有限要素近似と同等の収束速度 $n^{-\min(1/p - 1, \alpha)}$ を達成し、定数 $C$ は $\|\sigma^{-1}\|_{\ell_p(\mathbb{F})}$ に依存する。
• $p = \frac{1}{1 + \alpha}$ の場合、収束速度は $n^{-\alpha}$ に簡略化され、非パラメトリック速度と正確に一致する。
• 空間的およびパラメトリック変数の分離を必要とせず、テンソル化された近似空間を通じて両者を集合的に扱うことで、最適な収束が達成される。
• 次元の呪いは克服される：パラメトリック係数の導関数の $\ell_p$-summability 条件のもとでは、$d = \infty$ であっても収束速度はパラメトリック次元に依存しない。
• 誤差境界における定数 $C$ は明示的に推定されており、次元に依存せず、係数列の $\ell_p$-ノルムおよび問題のデータにのみ依存する。
• $\alpha > 0$ に対して十分な正則性が仮定される場合、結果は任意の $\alpha > 0$ に拡張可能であり、現在の正則性制約を超えてより広範な適用可能性を示唆する。