[論文レビュー] Linear collective collocation and Galerkin methods for parametric and stochastic elliptic PDEs

Ðinh Dũng|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、無限次元のパラメトリック楕円型PDEを解くために、多項式展開を用いた線形集合的アプローチ（テイラー展開、コロケーション、ガラーキン法）を導入する。$[-1,1]^{\times}$ のパラメトリック領域において、やや緩い条件下で、これらの手法が非パラメトリック問題における基礎的な有限要素法と同じ収束速度を有することが証明され、次元の呪いがパラメトリックな複雑さを定数因子に限定することで、効果的に克服される。

ABSTRACT

Consider the parametric elliptic problem \begin{equation} onumber - \operatorname{dv} \big(a(y)(x) abla u(y)(x)\big) = f(x) \quad x \in D, y \in [-1,1]^\infty, \quad u|_{\partial D} = 0, \end{equation} where $D \subset {\mathbb R}^m$ is a bounded Lipschitz domain, $[-1,1]^\infty$, $f \in L_2(D)$, and the diffusions $a$ satisfy the uniform ellipticity assumption and are affinely dependent with respect to $y$. The parametric variable $y$ may be deterministic or random. In the present paper, a central question to be studied is as follows. Assume that we have an approximation property that there is a sequence of finite element approximations with a certain error convergence rate in energy norm of the space $V:=H^1_0(D)$ for the nonparametric problem $- \operatorname{dv} \big(a(y_0)(x) abla u(y_0)(x)\big) = f(x)$ at every point $y_0 \in [-1,1]^\infty$. Then under what assumptions does this sequence induce a sequence of finite element approximations with the same error convergence rate for the parametric elliptic problem in the norm of the Bochner spaces $L_\infty([-1,1]^\infty,V)$ or $L_2([-1,1]^\infty,V)$? We solved this question by linear collective Taylor, collocation and Galerkin methods, based on Taylor expansions, Lagrange polynomial interpolations and Legendre polynomials expansions, respectively, on the parametric domain $[-1,1]^\infty$. Under very light conditions, we show that all these approximation methods give the same error convergence rate as that by the sequence of finite element approximations for the nonparametric elliptic problem. The parametric infinite-variate part completely disappears from the convergence rate and influences only the constant. Hence the curse of dimensionality is broken by linear methods.

研究の動機と目的

• 非パラメトリック楕円型問題における既知の収束速度を持つ有限要素近似列が、パラメトリック領域においても同じ速度を達成する条件を特定すること。
• 無限次元パラメトリック領域 $[-1,1]^\rtimes$ がボホルナー空間 $L_2$ や $L_\rtimes$ における収束速度を劣化させるかどうかを分析すること。
• パラメトリック次元に依存しない元の収束速度を維持する線形近似戦略を開発すること。
• パラメトリック依存性が誤差境界の定数にのみ影響し、収束速度に影響しないことを確立すること。

提案手法

• パラメトリック領域 $[-1,1]^\rtimes$ における線形集合的テイラー展開を用いて、解写像を近似する。
• コロケーション点を介したラグランジュ多項式補間を適用して、パラメトリック近似を構築する。
• パラメトリック変数におけるルジャンドル多項式展開を用いて、ガラーキン近似を構築する。
• $V = H^1_0(D)$ を用いて、ボホルナー空間 $L_2([-1,1]^\rtimes, V)$ および $L_\rtimes([-1,1]^\rtimes, V)$ における近似を構築する。
• 安定性のため、拡散係数 $a(y)$ のアフィンパラメトリック依存性と一様楕円性に依存する。
• 有限要素系列に対する最小限の仮定のもとで、収束速度が保たれることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非パラメトリック問題における与えられた収束速度を持つ有限要素法が、$[-1,1]^\rtimes$ 上のパラメトリック領域においても同じ速度を達成する条件は何か？
• RQ2 無限次元のパラメトリック次元性が存在する中で、線形パラメトリック近似手法が、基礎的な有限要素離散化の収束速度を保つことができるか？
• RQ3 パラメトリック領域が収束速度に与える影響はどの程度であり、その影響を乗法的定数に限定できるか？
• RQ4 テイラー、コロケーション、ガラーキン法が、同一の仮定のもとで同じ収束速度を達成するか？
• RQ5 線形パラメトリック近似スキームを用いる場合、収束速度において次元の呪いが回避されるか？

主な発見

• 非パラメトリック問題における有限要素法の収束速度は、テイラー、コロケーション、ガラーキンの3つの線形手法すべてにおいて、パラメトリック領域でも保持される。
• 無限次元パラメトリック領域 $[-1,1]^\rtimes$ は収束速度を劣化させない。誤差境界における定数にのみ影響を与える。
• パラメトリック依存性は誤差推定式において、パラメトリック次元に依存しない定数因子としてのみ現れる。
• パラメトリック次元が無限大であっても、これらの手法は、基礎的な有限要素離散化と同一の収束速度を達成する。
• 拡散係数 $a(y)$ の一様楕円性とアフィンパラメトリック依存性が、収束速度の保持を保証する十分条件である。
• 本パラメトリック楕円型PDEフレームワークにおいて、線形集合的アプローチにより、次元の呪いが効果的に克服される。