[論文レビュー] Linear combinations of Rademacher random variables

Harrie Hendriks, M.C.A. van Zuijlen|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

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ひとこと要約

この論文は、次元 $ n \leq 9 $ において長年の予想を解決する。任意の単位ベクトル $ a \in \mathbb{R}^n $ に対して、$ \pm a_i $ の $ 2^n $ 種類の符号組み合わせのうち、絶対値が $ \leq \|a\| $ となるものが少なくとも半数以上存在することを証明している。証明は、二次計画法と線形計画法の双対性を用いてラデマッハ和の分布を分析し、古典的な不等式（例えばチエビシェフの不等式）を上回るタイトな確率的評価を確立している。

ABSTRACT

For a fixed unit vector $a=(a_1,a_2,\ldots,a_n)\in S^{n-1}$, we consider the $2^n$ sign vectors $\varepsilon=(\varepsilon^1,\varepsilon^2,\ldots,\varepsilon^n)\in \{+1,-1\}^n$ and the corresponding scalar products $\varepsilon\cdot a=\sum_{i=1}^n \varepsilon^ia_i$. In this paper we will solve for $n=1,2,\ldots,9$ an old conjecture stating that of the $2^n$ sums of the form $\sum\pm a_i$ it is impossible that there are more with $|\sum_{i=1}^n \pm a_i|>1$ than there are with $|\sum_{i=1}^n \pm a_i|\leq1$. Although the problem has been solved completely in case the $a_i$'s are equal, the more general problem with possible non-equal $a_i$'s remains open for values of $n\geq 10$. The present method can also be used for $n\geq 10$, but unfortunately the technical difficulties seem to grow exponentially with $n$ and no "induction type of argument" has been found. The conjecture has an appealing reformulation in probability theory and in geometry. In probability theory the results lead to upper bounds which are much better than for instance Chebyshevnequalities.

研究の動機と目的

• 任意の単位ベクトル $ a \in \mathbb{R}^n $ に対して、$ \pm a_i $ の $ 2^n $ 種類の符号組み合わせのうち、$ |\sum \pm a_i| \leq \|a\| $ を満たすものが少なくとも半数以上存在することを、$ n \leq 9 $ の範囲で証明すること。
• ラデマッハ和 $ S_n = \sum a_i \epsilon_i $ の裾確率に対する、古典的な不等式（例えばチエビシェフの不等式）を上回るよりタイトな確率的上界を提供すること。
• この予想を幾何学的および確率論的枠組みに再定式化し、超立方体 $ \{+1,-1\}^n $ 上での線形形式の分布と関連付けること。
• 二次計画法と線形計画法を組み合わせた、新たな双対性に基づく手法を考案・適用し、符号ベクトルの極値的構成を分析すること。

提案手法

• 問題を、符号ベクトルの配置から導かれる制約のもとで $ \|R\|^2 $ を最小化する超立方体 $ \{+1,-1\}^n $ 上の二次計画法最適化問題として定式化する。
• 双対性理論を用いて主問題を双対形式に変換し、$ R' \in \mathcal{Q} $ および $ e_i R' \geq R R' $ を満たす必要十分条件を導出する。
• 双対問題を通じてカールシュ＝クーン＝タッカー（KKT）条件を適用し、最適性を検証することで、$ R $ が制約を満たす最小ノルムベクトルに対応することを保証する。
• 二次計画法ソフトウェアおよび R パッケージ lpSolve を用いて、$ n \leq 9 $ のすべての $ 2^n $ 個の符号ベクトルに対して妥当な解を計算し、構成を検証する。
• 代表的な符号ベクトルとその凸結合の表を用いて、すべての極値的ケースをカバーする証明スキームを構築する。
• 符号ベクトルの凸結合を固定することで、元の組合せ的問題を一連の線形計画法サブ問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ n \leq 9 $ の場合、$ 2^n $ 個の線形結合 $ \sum \pm a_i $ のうち、常に $ |\sum \pm a_i| \leq \|a\| $ を満たすものが少なくとも半数以上存在するか？
• RQ2 重みが等しくない一般の $ a_i $ に対しても、$ \mathbb{P}\{|S_n| \leq 1\} \geq \frac{1}{2} $ という予想を証明できるか？
• RQ3 ノルムが 1 であるラデマッハ和に対して、$ \mathbb{P}\{|S_n| \geq x\} $ の最もタイトな上界は何か？ また、ガウス分布の尾部評価と比べてどうなるか？
• RQ4 二次計画法における双対性を、超立方体上での極値的組合せ的問題を解くために体系的に応用できるか？

主な発見

• すべての $ n \leq 9 $ に対して、$ \varepsilon \in \{+1,-1\}^n $ で $ |\varepsilon \cdot a| \leq \|a\| $ を満たす符号ベクトルの数は $ 2^{n-1} $ 以上であり、この範囲での予想が証明された。
• この手法により、最適化問題の最小ノルム解 $ R $ が $ \|R\|^2 \leq 1 $ を満たすことが示され、これにより $ \|a\| $-球への半分以上のカバレッジが保証される。
• 証明スキームは完全に構成的であり、計算ツールを用いて検証されており、$ n \leq 9 $ のすべての構成が代表的な符号ベクトルとその凸結合によって網羅されている。
• 双対性に基づくアプローチにより、ラデマッハ尾部確率の評価を新たな方法で得ることができ、チエビシェフの不等式を上回り、ピネリスやベンツクスの結果と同等のタイトさを達成した。
• 結果は、$ S_n $ の最悪ケース分布が大きな値に偏っていないことを支持しており、$ \|a\| = 1 $ の場合に $ \mathbb{P}\{|S_n| \leq 1\} \geq \frac{1}{2} $ が成り立つという予想を裏付けている。
• 計算複雑性の指数的増加のため、$ n = 9 $ を超えて一般化できない。また、結果を拡張するための帰納的構造はまだ同定されていない。