[論文レビュー] Linear Complexity of Ding-Helleseth Generalized Cyclotomic Binary Sequences of Any Order

Tongjiang Yan|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の次数におけるバイナリ・ディン＝ヘレセス一般化巡回系列の線形複雑度を確立し、系列周期 N=pq に対してそれが (pq−1)/2 以上であることを証明する。代数的数論および GF(2) 上の巡回クラスの性質を用いて、特徴和解析とベルレカンプ＝マシーのアルゴリズムにより正確な境界を導出し、文献における以前の誤りを是正し、暗号的利用に適した系列の強い予測不能性を確認する。

ABSTRACT

This paper gives the linear complexity of binary Ding-Helleseth generalized cyclotomic sequences of any order.

研究の動機と目的

• 任意の次数 2n におけるディン＝ヘレセス一般化巡回バイナリ系列の正確な線形複雑度を特定すること。
• ユエン・スン（2008年）の論文におけるレムマ4の誤りを是正することにより、線形複雑度に関する以前の結果の無効化を是正すること。
• 代数的数論および GF(2) 上の特徴和技法を用いて、線形複雑度に対するきつい下界を確立すること。
• 巡回クラスの構造およびそれらが pq を法とする剰余類に及ぼす乗法的作用を分析すること。
• 線形複雑度の高さが、予測不能性の主要基準たるため、ストリーム暗号への適性を確認すること。

提案手法

• 線形複雑度を最小生成多項式 m(x) = (x^N − 1)/gcd(S(x), x^N − 1) の次数に関連付けるために、ベルレカンプ＝マシーのアルゴリズムを用いる。
• S(x) を系列の生成多項式とするとき、S(α^k) を評価するために、GF(2^L) 上の特徴和解析を用いる。ここで α は原始 N 次根である。
• レムマ 1 から 8 を用いて、巡回クラスの要素が集合 P, Q, B に及ぼす作用を、乗法的閉包性および対称性の性質を用いて分析する。
• S(α^k) = 0 ⇔ α^k が S(x) の根であるという恒等式を用い、このような根の数を数えることで L(s) = N − |{k : S(α^k) = 0}| を計算する。
• レムマ 4 を用いて、ある k1, k2 ∈ Di に対して S(α^{k1}) + S(α^{k2}) = 1 であることを示し、非ゼロ評価の数え上げを可能にする。
• レムマ 7 を用いて S(α^k) を P_n および Q_n 上の和の形に表現し、レムマ 8 を用いて P および Q 内の根の数の上限を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の次数 2n におけるディン＝ヘレセス一般化巡回バイナリ系列の正確な線形複雑度は何か？
• RQ2 巡回クラスの乗法的作用が剰余集合 P, Q, B に及ぼす影響は、線形複雑度にどのように関与するか？
• RQ3 過去に誤って発表された結果（ユエン・スン（2008年））は、きつい代数的枠組みを用いて是正可能か？
• RQ4 これらの系列の線形複雑度に対して、GF(2) 上でどのような下限を確立できるか？
• RQ5 分裂体における単位根および GF(2) 上の特徴和は、線形複雑度の計算にどのように寄与するか？

主な発見

• 周期 N = pq であるディン＝ヘレセス一般化巡回バイナリ系列の線形複雑度は、少なくとも (pq − 1)/2 以上である。
• 本稿は、ユエン・スン（2008年）のレムマ4における誤りを是正し、これにより線形複雑度に関する誤った結論がもはや成立しないことを示した。
• 著者らは、|{k : S(α^k) = 0, 0 ≤ k ≤ N−1}| ≤ (p−1)(q−1)/2 であることを証明し、線形複雑度の下限を得た。
• k ∈ P のとき、S(α^k) = (p−1)/2 + ∑_{t∈P_n} α^{kt} mod 2 であり、k ∈ Q のとき、S(α^k) = ∑_{t∈Q_n} α^{kt} mod 2 である。これらは根の数の評価に重要な役割を果たす。
• ∑_{t∈Q} α^t = 1 （GF(2) 上）であり、同様に P および Z_N^* に対しても同様の恒等式が成り立ち、評価の簡略化と境界の導出に用いられる。
• 巡回クラスの対称性および g による D_i への作用により、S(x) の根の数が有界であることが保証され、最終的な複雑度の結果が得られる。