[論文レビュー] Linear differential systems over the quaternion skew field

Ivan Kyrchei|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2018

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 16被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非可換な行列式の枠組みとしての列-行行列式を用いて、一階線形クォータニオン微分系（LQDS）の包括的な理論を確立する。定数係数行列をもつ系の一般解の行列式表現を導出し、可逆および特異な場合の両方をカバーする。Drazin逆行列を列-行行列式を用いて表現し、数値的検証を提供する。

ABSTRACT

A basic theory on the first order right and left linear quaternion differential systems (LQDS) is given systematic in this paper. To proceed the theory of LQDS we adopt the theory of column-row determinants recently introduced by the author. In this paper, the algebraic structure of their general solutions are established. Determinantal representations of solutions of systems with constant coefficient matrices and sources vectors are obtained in both cases when coefficient matrices are invertible and singular. In the last case, we use determinantal representations of the quaternion Drazin inverse within the framework of the theory of column-row determinants. Numerical examples to illustrate the main results are given.

研究の動機と目的

• 非可換クォータニオン斜体上における一階右および左線形クォータニオン微分系（LQDS）の体系的理論を構築すること。
• クォータニオン上での行列式の定義と線形系の解法において生じる非可換性の課題を克服すること。
• 定数係数行列をもつLQDSの一般解の代数的構造を確立すること。
• 係数行列が可逆または特異な場合に、Drazin逆行列を用いて解の行列式表現を導出すること。
• 列-行行列式フレームワークを用いて、理論的結果を数値例で検証すること。

提案手法

• 著者により最近導入された列-行行列式の理論を採用し、クォータニオン代数における非可換行列式の取り扱いを可能にする。
• 特異系に対して、列-行行列式フレームワーク内でのクォータニオンDrazin逆行列の行列式表現を適用する。
• 列および行行列式を用いたクォータニオン系のクラメル則類似法を用いて、解を明示的に表現する。
• 非可換なクォータニオンの文脈に適合させた基本行列および解構造理論を用いる。
• 定数係数をもつLQDSの一般解の公式を導出し、係数行列が可逆または特異な場合に分けて取り扱う。
• MapleとCLIFFORDパッケージを用いた数値例により、結果を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クォータニオンの非可換性を考慮すると、線形クォータニオン微分系の整合的理論はどのように構築できるか？
• RQ2 クォータニオン斜体上の一階LQDSの一般解の代数的構造は何か？
• RQ3 係数行列が特異な場合に、解の行列式表現はどのように構成できるか？
• RQ4 クォータニオン行列のDrazin逆行列は、列-行行列式を用いて行列式的に表現可能か？
• RQ5 定数係数をもつLQDSの数値解はどのように計算され、検証されるか？

主な発見

• 本稿は、列-行行列式を用いて、右および左線形クォータニオン微分系の一般解の構造を確立する。
• 係数行列が可逆な系に対して、解の行列式表現が導出され、クォータニオンへのクラメル則の拡張が実現される。
• 係数行列が特異な場合、解はDrazin逆行列を用いて表現され、その行列式表現は列-行行列式に基づく。
• 数値例により理論的解が検証された：系の一般解は、x₁ = 0.5j + (-0.5 + 0.5j)t、x₂ = -0.5i - 0.5k、x₃ = 0.5k + (0.5i - 0.5k)t である。
• 本手法は非可換行列式を効果的に取り扱い、MapleとCLIFFORDパッケージを用いた記号計算ツールによる明示的解の計算を可能にする。
• 本アプローチは、係数行列が特異的または非可逆であっても、一貫性があり計算可能なフレームワークを提供する。