[論文レビュー] Linear discrete multitime multiple recurrence

Cristian Ghiu, Raluca Tuliga+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2015

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、基本行列解と変換技術を用いて、定数係数をもつ線形離散多時刻多重再帰関係について、存在および一意性の定理を確立する。このシステムは係数行列の可逆性条件のもとで一意解を有することを示し、単変数再帰理論をモノイド上の多変数離散ダイナミクスへ一般化する。

ABSTRACT

The multitime multiple recurrences are common in analysis of algorithms, computational biology, information theory, queueing theory, filters theory, statistical physics etc. The theoretical part about them is little or not known. That is why, the aim of our paper is to formulate and solve problems concerning nonautonomous multitime multiple recurrence equations. Among other things, we discuss in detail the cases of linear recurrences with constant coefficients, highlighting in particular the theorems of existence and uniqueness of solutions.

研究の動機と目的

• 計算生物学や情報理論などの分野における多時刻多重再帰の理論的基盤の欠如に対処すること。
• 非定常な多時刻多重再帰方程式を定式化し、特に定数係数をもつ線形ケースを焦点として解くこと。
• 線形離散多時刻多重再帰の解に関する存在および一意性の定理を確立すること。
• 単変数および多変数の両設定における再帰関係を統一的に解説すること。

提案手法

• ℤ^m 上の部分順序 ≤ を用いてモノイド上での1次多時刻多重再帰を定式化する。
• 線形同次系に対して基本（遷移）行列 χ(t, s) の概念を導入する。
• 非同次系を加法的再帰形に変換するため、変換 x̃(t) = χ(t, t₀)⁻¹x(t) を適用する。
• 整合性のための必要十分条件を、可換性条件 Fα(t+1β, Fβ(t,x)) = Fβ(t+1α, Fα(t,x)) を用いて導出する。
• 行列の逆行列と再帰的和算を用いて、一般解を x(t) = χ(t,t₀)x₀ + χ(t,t₀)∑C̃α,k(t) の形で表現する。
• 解の存在と係数行列および非同次項を含む適合条件 (9) の間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定数係数をもつ線形離散多時刻多重再帰が、どのような条件下で一意解をもつか。
• RQ2 このようなシステムに対して、基本行列解はどのように構成され、どのような性質を満たすか。
• RQ3 非同次再帰を加法的形に還元するためにどのような変換が可能か。
• RQ4 多時刻システムにおける異なる時間方向にわたる整合性を保証する適合条件は何か。
• RQ5 解の構造は、単変数から多変数離散再帰へどのように一般化されるか。

主な発見

• すべての Aα(t) が可逆であれば、初期条件 x(t₀) = x₀ に対して、システム x(t+1α) = Aα(t)x(t) + bα(t) は一意解をもつ。
• 解は x(t) = χ(t,t₀)x₀ + χ(t,t₀)∑C̃α,k(t) で与えられ、ここで χ(t,t₀) は基本行列、C̃α,k(t) は変換された非同次項の累積和である。
• 一意なグローバル解の存在は、適合条件 Aα(t+1β)bβ(t) + bα(t+1β) = Aβ(t+1α)bα(t) + bβ(t+1α) と同値である。
• すべての t ≥ s に対して、基本行列 χ(t,s) は可逆であり、初期値問題の適切性が保証される。
• 変換されたシステム x̃(t+1α) = x̃(t) + Ãα(t) は加法的であり、和算により解ける。その解は x̃(t) = x₀ + ∑C̃α,k(t) である。
• この理論は、単変数再帰の古典的結果を、部分順序構造を持つ ℤ^m 上の多変数離散ダイナミクスへ一般化する。