[論文レビュー] Linear dynamical systems on Hilbert spaces: typical properties and explicit examples

Sophie Grivaux, Étienne Matheron+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2017

Holomorphic and Operator Theory参考文献 56被引用数 47

ひとこと要約

本稿は、バナッハ・カテゴリー論法と明示的構成を用いて、分離可能な無限次元ヒルバート空間上の線形作用素の典型的な力学的性質を調査する。典型的な超循環作用素は位相的混合的でなく、固有値をもたず、非自明な不変測度をもたないが、稠密に分布的カオス的であることが示され、頻度付き超循環性、U-頻度付き超循環性、エルゴード性、カオス性のさまざまな組み合わせを区別する明示的例が提示される。

ABSTRACT

We solve a number of questions pertaining to the dynamics of linear operators on Hilbert spaces, sometimes by using Baire category arguments and sometimes by constructing explicit examples. In particular, we prove the following results. - A typical hypercyclic operator is not topologically mixing, has no eigenvalues and admits no non-trivial invariant measure, but is densely distributionally chaotic. - A typical upper-triangular operator is ergodic in the Gaussian sense, whereas a typical operator of the form "diagonal plus backward unilateral weighted shift" is ergodic but has only countably many unimodular eigenvalues, in particular, it is ergodic but not ergodic in the Gaussian sense. - There exist Hilbert space operators which are chaotic and $\\mathcal U$-frequently hypercyclic but not frequently hypercyclic, Hilbert space operators which are chaotic and frequently hypercyclic but not ergodic, and Hilbert space operators which are chaotic and topologically mixing but not $\\mathcal U$-frequently hypercyclic. We complement our results by investigating the descriptive complexity of some natural classes of operators defined by dynamical properties.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間上の超循環作用素の典型的な力学的挙動を、カテゴリー論的手法を用いて明確化すること。
• 頻度付き超循環性、U-頻度付き超循環性、エルゴード性、カオス性の間の関係について未解決の問題を解消すること。
• 特定の非自明な力学的性質の組み合わせを示す作用素の明示的構成を行うこと。
• 力学的性質によって定義される作用素の類の記述的集合論的複雑性を調査すること。
• 上三角作用素および対角＋シフト作用素の文脈において、エルゴード性とガウス的エルゴード性を分析すること。

提案手法

• 強い位相および強い*位相におけるバナッハ・カテゴリー論法を用いて、作用素の一般的性質を確立すること。
• 重み付きシフト作用素および対角作用素を用いた明示的構成により、特定の力学的挙動を実現すること。
• 完全スパニングの概念を用いて、上三角設定における特定の作用素類の典型性を示すこと。
• 一様再帰性および周期点に基づく基準を用いて、U-頻度付き超循環性を特徴づけること。
• C型、C+-型、C2型作用素を導入・分析し、超循環性の概念の違いを明確にし、それらを示すこと。
• 作用素指定性質と頻度付き超循環性の関係を、具体的な例において調査すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間上でのバナッハ・カテゴリー的意味での典型的な超循環作用素の力学的挙動は何か？
• RQ2 カオス的かつ位相的混合的であるが、U-頻度付き超循環的でない作用素が存在するか？
• RQ3 「対角＋後退シフト」型作用素について、エルゴード性とガウス的エルゴード性の間に差異があるか？
• RQ4 頻度付き超循環的かつカオス的であるが、エルゴード的でない作用素が存在するか？
• RQ5 U-頻度付き超循環的であるが、頻度付き超循環的でない作用素が存在するか？

主な発見

• 典型的な超循環作用素は位相的混合的ではなく、固有値をもたず、非自明な不変測度をもたないが、稠密に分布的カオス的である。
• 典型的な上三角作用素はガウス的意味でエルゴード的であり、典型的な「対角＋後退シフト」型作用素はエルゴード的だがガウス的エルゴード的でなく、単位円上に高々可算個のユニモジュラー固有値をもつ。
• カオス的かつU-頻度付き超循環的であるが、頻度付き超循環的でない作用素が存在し、これら概念の間には厳密な階層関係があることを示している。
• カオス的かつ頻度付き超循環的であるが、エルゴード的でない作用素が存在し、頻度付き超循環性がエルゴード性を含意しないことを示している。
• カオス的かつ位相的混合的であるが、U-頻度付き超循環的でない作用素が存在し、混合性がU-頻度付き超循環性を含意しないことを示している。
• 位相的混合作用素の類は $G_{\rho}$-完全であり、カオス的、頻度付き超循環的、U-頻度付き超循環的作用素の類はボレルでないため、記述的集合論的複雑性が極めて高い。