[論文レビュー] Linear Equation in Finite Dimensional Algebra

Aleks Kleyn|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2009

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、体上の有限次元代数における $ a_{s\cdot 0} x a_{s\cdot 1} = b $ の形をした線形方程式を、ベクトル空間の同型と行列表現を用いて解く手法を開発する。主な貢献は、構造定数から導かれる行列の行列式に基づく可逆性の基準であり、方程式が一意に解をもつのは、この行列式が非ゼロである場合に限ることを示している。

ABSTRACT

In the paper I considered methods for solving equations of the form axb+cxd=e in the algebra which is finite dimensional over the field.

研究の動機と目的

• 体上の有限次元代数における $ a_{s\cdot 0} x a_{s\cdot 1} = b $ の形をした線形方程式を解くための体系的かつ包括的な手法を開発すること。
• テンソル計算およびアフィン幾何学の手法を非可換かつ非結合的代数へ一般化すること。
• 方程式に関連する線形写像が可逆となる条件を特定すること、特にテンソル変換およびインデックス操作への応用を想定すること。
• クォータニオンや $ 2\times2 $ 行列の代数における方程式 $ ax - xa = 1 $ の可解性を分析すること。
• 線形写像の可逆性と、構造定数から構成された行列の行列式との間の関係を確立すること。

提案手法

• 体 $ F $ 上の有限次元ベクトル空間として代数 $ A $ を表現し、基底 $ \overline{e} $ を用い、要素を座標 $ a^i $ で表す。
• 構造定数 $ C^k_{ij} $ を用いて代数の積を定義する。$ \overline{e}_i \overline{e}_j = C^k_{ij} \overline{e}_k $ により、座標に基づく計算が可能になる。
• 係数と未知数を基底成分で表すことにより、方程式 $ a_{s\cdot 0} x a_{s\cdot 1} = b $ を線形方程式の連立系に変換する。
• 構造定数から得られる行列 $ C^\cdot{}^j_i{}_{\cdot}{}^p_q{}_{\cdot}{}^s_t $ を構成し、線形写像を行列形式で定義する。
• ラプラス展開と帰納法を用いて、線形写像を表す行列 $ <A, E_m> $ の行列式が $ (\det A)^m $ に等しいことを証明する。
• 行列式基準 $ \det \| C^\cdot{}^j_i{}_{\cdot}{}^p_q{}_{\cdot}{}^s_t a^t_s \| \neq 0 $ を用いて、線形写像の可逆性を判定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体上の有限次元代数において、方程式 $ a_{s\cdot 0} x a_{s\cdot 1} = b $ が一意に解をもつ条件は何か？
• RQ2 写像 $ x \mapsto a_{s\cdot 0} x a_{s\cdot 1} $ は、行列法を用いてどのように表現され、分析可能か？
• RQ3 構造定数は、このような方程式の可解性および可逆性を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ4 なぜ方程式 $ ax - xa = 1 $ はクォータニオン代数や $ 2\times2 $ 行列の代数において解を持たないのか？
• RQ5 構造定数から導かれる行列の行列式を用いて、線形写像の可逆性を特徴づけられるか？

主な発見

• 方程式 $ a_{s\cdot 0} x a_{s\cdot 1} = b $ は、体 $ F $ 上の線形方程式の連立系に還元可能であり、解が一意に存在する場合、無限に多くの解が存在する場合、または解が存在しない場合がある。
• 線形写像 $ x \mapsto a_{s\cdot 0} x a_{s\cdot 1} $ は、行列 $ C^\cdot{}^j_i{}_{\cdot}{}^p_q{}_{\cdot}{}^s_t a^t_s $ の行列式が非ゼロである場合に限り可逆である。
• 行列 $ <A, E_m> $ の行列式は $ (\det A)^m $ に等しく、これは写像が可逆であるための必要十分条件が $ \det A \neq 0 $ であることであることを示している。
• クォータニオン代数では、$ ax - xa $ のスカラー部は常にゼロであるため、$ ax - xa = 1 $ が満たされる必要があるが、これは矛盾を生じる。
• $ 2\times2 $ 行列の代数では、$ ax - xa = 1 $ から導かれる方程式系は矛盾を含む（例：$ -a^{2}_1 x^{1}_2 + a^{1}_2 x^{2}_1 = 1 $ と $ +a^{2}_1 x^{1}_2 - a^{1}_2 x^{2}_1 = 1 $）。これにより、解が存在しないことが証明される。
• 代数 $ A $ において方程式 $ ax - xa = 1 $ が一意に解をもつのは、$ \det\| (C^k_{ij} - C^k_{ji}) a^i \| \neq 0 $ である場合に限る。これは、可解性を特徴づける行列式基準を提供する。