[論文レビュー] Linear Fractional Recurrences: Periodicities and Integrability

Eric Bedford, Kyounghee Kim|ArXiv.org|Oct 22, 2009

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、双有理的力学と特異点解消によるコhomologicalな次数成長を用いて、複素数体上のkステップ線形分数型再帰の周期性と可積分性を調査する。各kに対して、(5.3)を満たすα, βを有するk個の異なる再帰が周期4kを持つことを、Picard群への引き戻し作用の解析と、反復的ブローアップによる正則化モデルの構成を通じて証明し、周期性と解消空間のコhomologyにおける固有値成長の間の関係を確立する。

ABSTRACT

We consider k-step recurrences of the form $z_{n+k} = A(z)/B(z)$, where A and B are linear functions of $z_n, z_{n+1}, ..., z_{n+k-1}$, which we call k-step linear fractional recurrences. The first Theorem in this paper shows that for each k there are k-step linear fractional recurrences which are periodic of period 4k. Among this class of recurrences, there is also the so-called Lyness process, which has the form $A(z)/B(z) = (a +z_{n+1} + z_{n+2} + ... + z_{n+k-1})/z_n$. The second Theorem shows that the Lyness process has quadratic degree growth. The Lyness process is integrable, and we discuss its known integrals.

研究の動機と目的

• 複素数体上、すべての初期条件に対してkステップ線形分数型再帰が周期的となるパラメータ集合(α, β)を特定すること。
• k=2およびk=3の場合の周期性に関する先行研究を一般kに拡張し、新たな周期的挙動を同定すること。
• 引き戻し写像f*がPic(X)に作用する際のスペクトル的性質、特に次数成長との関連を通じて、周期性と関連づけること。
• Lyness写像(h)の可積分性を、次数成長と不変有理関数の研究により分析すること。
• 同次多項式pがp∘f = J·pを満たすようにする方法を体系的に提供すること。ここでJはfのヤコビアンである。

提案手法

• 再帰を、分子と分母の次数がkである有理関数を用いてインデックスをずらすことで、P^k上に定義された双有理写像fα,βとして表現する。
• 動的複雑性の指標として、cohomologicalな次数成長δ(f) = lim ||(f^n)*||^{1/n}を用い、これはPic(X)上のf*のスペクトル半径により計算される。
• 不確定性を解消し、(f^n)* = (f*)^nがPic(X)上で成り立つように、反復的ブローアップにより正則化モデルXを構成する。これによりスペクトル解析が可能になる。
• f(E)またはf^{-1}(E)の余次元が1より大きい例外的超曲面Eを特定し、その軌道構造を基にブローアッププロセスを誘導する。
• Lyness写像hについて、pullback作用素Tが一次形式の積に作用する様子を調べることで、h^nの次数成長を分析する。
• 同次多項式pがp∘f = J·pを満たすようにして、不変有理関数を商として構成する。ここでJはfのヤコビアンである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの(α, β)に対して、kステップ線形分数型再帰(0.1)が複素数体上、すべての初期条件に対して周期的となるか？
• RQ2 このような再帰の最大の非自明な周期は何か？また、kに依存する関係は？
• RQ3 写像f^nの次数成長は、可積分性および不変有理関数の存在とどのように関係するか？
• RQ4 k>3またはa≠1の場合、Lyness写像hがnに関して二次的次数成長を示すことは示せるか？これはその力学的挙動にどのような意味を持つのか？
• RQ5 写像f下での有理不変量の構造は何か？また、p∘f = J·pの解から、それらを体系的に構成する方法は？

主な発見

• 各k ≥ 1に対して、(5.3)を満たすα, βを有するk個の異なる再帰が存在し、それらは周期4kで周期的である。
• 一般的な(α, β)に対して、次数成長δ(f) = Δ_k > 1であるため、一般的な再帰は周期的でないことが示される。
• k > 3またはa ≠ 1の場合、Lyness写像hはnに関して二次的次数成長を示し、楕円ファイブレーションを保存する意味での非可積分性を示唆する。
• k ≥ 3の場合、多項式p_0 = ∏_{j=0}^k x_jはp_0∘f = J·p_0を満たし、したがって不変有理関数を生成する。
• k ≥ 5で奇数の場合、線形形式の積の和Φ_even + Φ_oddが不変条件p∘f = J·pを満たし、追加の不変量をもたらす。
• k > 5で偶数の場合、Ψ_aとΨ_bの組み合わせが、反復的引き戻しTを用いて構成され、p∘f = J·pの解をもたらし、不変有理関数の存在を確認する。