[論文レビュー] Linear kernels for edge deletion problems to immersion-closed graph classes

Archontia C. Giannopoulou, Michał Pilipczuk+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、有限な族 F に属する任意のグラフをインマージョンとして含まないグラフにすることを目的とした、F-インマージョン削除問題に対する線形カーネルと効率的なアルゴリズムを提示する。F に属するすべてのグラフが連結であり、かつ少なくとも1つが平面的かつ部分立方であるという条件下で、著者らは定数倍近似、線形カーネル、FPT アルゴリズムを達成した。カーネルサイズは F の乗法的定数にのみ依存するが、マイナーに基づく類似問題では指数が F に強く依存するのとは対照的である。

ABSTRACT

Suppose $\\mathcal{F}$ is a finite family of graphs. We consider the following meta-problem, called $\\mathcal{F}$-Immersion Deletion: given a graph $G$ and integer $k$, decide whether the deletion of at most $k$ edges of $G$ can result in a graph that does not contain any graph from $\\mathcal{F}$ as an immersion. This problem is a close relative of the $\\mathcal{F}$-Minor Deletion problem studied by Fomin et al. [FOCS 2012], where one deletes vertices in order to remove all minor models of graphs from $\\mathcal{F}$. We prove that whenever all graphs from $\\mathcal{F}$ are connected and at least one graph of $\\mathcal{F}$ is planar and subcubic, then the $\\mathcal{F}$-Immersion Deletion problem admits: a constant-factor approximation algorithm running in time $O(m^3 \\cdot n^3 \\cdot \\log m)$; a linear kernel that can be computed in time $O(m^4 \\cdot n^3 \\cdot \\log m)$; and a $O(2^{O(k)} + m^4 \\cdot n^3 \\cdot \\log m)$-time fixed-parameter algorithm, where $n,m$ count the vertices and edges of the input graph. These results mirror the findings of Fomin et al. [FOCS 2012], who obtained a similar set of algorithmic results for $\\mathcal{F}$-Minor Deletion, under the assumption that at least one graph from $\\mathcal{F}$ is planar. An important difference is that we are able to obtain a linear kernel for $\\mathcal{F}$-Immersion Deletion, while the exponent of the kernel of Fomin et al. for $\\mathcal{F}$-Minor Deletion depends heavily on the family $\\mathcal{F}$. In fact, this dependence is unavoidable under plausible complexity assumptions, as proven by Giannopoulou et al. [ICALP 2015]. This reveals that the kernelization complexity of $\\mathcal{F}$-Immersion Deletion is quite different than that of $\\mathcal{F}$-Minor Deletion.

研究の動機と目的

• 有限な族 F に属するグラフのインマージョンモデルをすべて排除するために辺を削除する F-インマージョン削除問題に対する効率的なパrameterizedアルゴリズムの開発。
• すべての F に属するグラフが連結であり、かつ少なくとも1つが平面的かつ部分立方であるという条件下で、F-インマージョン削除問題に対する線形カーネルの確立。
• Fomin ら [FOCS 2012] が得た F-マイナー削除問題のアルゴリズム的結果を模倣し、さらに上回ることを目的とし、特にマイナーに基づくカーネルが F に依存して超線形的になるのに対し、インマージョンに基づくカーネルで線形カーネルを達成すること。
• カーネル化の複雑さの観点から、インマージョン閉じたグラフクラスとマイナー閉じたグラフクラスの構造的差異を調査すること。
• ツリー・カット幅とプロトローション分解技術をマイナーに基づく問題からインマージョンに基づく問題へと一般化して適用する。

提案手法

• ツリー・カット幅を構造的パラメータとして用い、F-インマージョン自由なグラフの複雑さを制限し、カーネル化を可能にする。
• マイナーに基づく問題から適応されたプロトローション置換およびプロトローション分解技術を、インマージョン設定に応用する。
• インマージョン閉じたクラスにおけるグラフ・ミニマライズ定理の構成的版を用い、最小の障害集合のサイズを制限する。
• ツリー・カット幅分解を用いた定数倍近似を採用：多項式時間内に、ツリー・カット幅が有界なグラフを生成する辺の集合を効率的に特定する。
• 最適化版の Courcelle の定理を用い、ツリー・カット幅が有界なグラフにおいて最小の辺削除集合を同定する。
• 近似とカーネル化を組み合わせ、カーネルサイズが O(k) で、定数が F に依存する線形カーネルを達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マイナーに基づく問題が超線形的カーネルサイズを要するのに対し、インマージョン閉じたグラフクラスへの辺削除問題においても、線形カーネルを達成できるか？
• RQ2 F-インマージョン削除問題のカーネル化の複雑さは、F-マイナー削除問題と比較して、族 F に依存する程度においてどのように異なるか？
• RQ3 ツリー・カット幅およびプロトローションに基づく技術は、マイナーに基づく問題からインマージョンに基づく問題へどの程度適応可能か？
• RQ4 F-インマージョン削除問題において、F に属するすべてのグラフが連結であるという仮定は、線形カーネルの達成に不可欠か？
• RQ5 非平面的または非部分立方のグラフをインマージョンとして含まないグラフの構造的性質は何か？ そして、それらは一般化されたアルゴリズム的結果を支えることができるか？

主な発見

• F-インマージョン削除問題は、O(m³n³log m) 時間で実行可能な定数倍近似アルゴリズムを有する。
• F-インマージョン削除問題の線形カーネルは、O(m⁴n³log m) 時間で計算可能であり、カーネルサイズは O(k) で、定数係数は F に依存する。
• F-インマージョン削除問題の FPT アルゴリズムは、O(2^O(k) + m⁴n³log m) 時間で実行可能であり、マイナーに基づく類似問題よりもカーネルサイズの複雑さが改善されている。
• カーネルサイズは k に対して線形であるのに対し、マイナーに基づく問題ではカーネルサイズの指数が F に非構成的かつ強く依存するため、インマージョンの場合ははるかに有利である。
• 本結果は、F に属するすべてのグラフが連結であり、かつ少なくとも1つが平面的かつ部分立方であるという条件のもとで成り立つ。これは重要な構造的制約である。
• ツリー・カット幅がインマージョン関連問題において適切なパラメータであることが確認された。これはマイナー関連問題における幅の役割と類似した役割を果たす。