[論文レビュー] Linear Mahler Measures and Double L-values of Modular Forms

Evgeny Shinder, Masha Vlasenko|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、多項式 $1 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4$ の線形マーラー測度が、重さ4の有理型モジュラー形式の二重L値の線形結合に等しいことを証明している。具体的には、モジュラー関数 $t(z)$ および重さ2の形式 $f(z)$ に対して定義される $g_1$, $g_2$, $g_3$ に関連するものであり、ロドリゲス＝ヴィレガスの予想を、既知の三変数マーラー測度を含む補正項を伴って確認するものである。

ABSTRACT

We consider the Mahler measure of the polynomial 1+x_1+x_2+x_3+x_4, which is the first case not yet evaluated explicitly. A conjecture due to F. Rodriguez-Villegas represents this Mahler measure as a special value at the point 4 of the L-function of a modular modular form of weight 3. We prove that this Mahler measure is equal to a linear combination of double L-values of certain meromorphic modular forms of weight 4.

研究の動機と目的

• 変数が少ない場合の既知の結果にもかかわらず、まだ未計算のまま残っている $1 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4$ の線形マーラー測度を明示的に評価するという未解決問題を解決すること。
• レベル15の重さ3のモジュラー形式 $f_{15}$ の $L$-関数の特別値に等しいという、F. ロドリゲス＝ヴィレガスによる予想を検証すること。
• 極をもつ重さ4の有理型モジュラー形式の二重L値の線形結合としてマーラー測度を新たな表現で与えること。
• 極を伴うモジュラー形式に対しても、モジュラー関数、微分作用素、多重積分を用いた手法を構築・適用し、これらの二重L値を評価すること。

提案手法

• 群 $\Gamma_0(6)+3$ に対して、重さ2のモジュラー関数 $t(z)$ および $f(z)$ を定義し、$g_1 = (Dt/t)f$、$g_2 = t/(1-t) \cdot g_1$、$g_3 = t(212t^2 + 251t - 13)/(1-t)^3 \cdot g_1$ として、重さ4のモジュラー形式 $g_1$, $g_2$, $g_3$ を得る。
• 微分作用素 $D = \frac{1}{2\pi i} \frac{d}{dz} = q \frac{d}{dq}$ を用いて、$t(z)$ および $f(z)$ から重さ4のモジュラー形式を構成する。$g_1$ は正則であり、$g_2$, $g_3$ は $t(z) = 1$ で極をもつ有理型形式である。
• 反復積分を用いて二重L値を定義する：$L(g_j, g_1, 3, 1) = (2\pi)^4 \int_0^\infty g_1(is) \int_s^\infty \int_{s_1}^\infty g_j(is_3) \, ds_3 \, ds_2 \, ds_1 \, ds$。これは、虚軸に沿って $g_j$ が指数的に減衰するため収束する。
• アトキン＝レーナー対合を適用し、$f_2(-1/12z)$ を変換し、Eisenstein級数 $E_1(z)$ を用いて結果の形式を表現することで、$L$-値を既知の $L$-関数の恒等式により評価する。
• 恒等式 $\int_0^{i\infty} f(z) z^{k-1} dz = \frac{(k-1)!}{(-2\pi i)^k} L(f,k)$ を用いて、積分をモジュラー形式の $L$-値に変換する。
• $f_1(z)$ および $f_2(z)$ を $l=1,2,4$ に対する $E_1(lz)$ の線形結合として表現し、Euler積展開およびゼータ関数の恒等式を用いて $L(f_1,2)$ および $L(f_1 \hat{f}_2,3)$ を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多項式 $1 + x_1 + x_2 + x_3 + x_4$ の線形マーラー測度は、モジュラー形式の $L$-関数の特別値として表現可能か？
• RQ2 レベル15の重さ3のモジュラー形式 $f_{15}$ に対して $L(f_{15},4)$ と関連づけられるロドリゲス＝ヴィレガスの予想は、三変数マーラー測度を含む補正項を伴って成立するか？
• RQ3 一般理論が存在しない中で、極をもつ有理型モジュラー形式の二重L値を意味的に定義・計算する方法は何か？
• RQ4 マーラー測度の評価において生じる二重L値 $L(g_j, g_1, 3, 1)$ に、幾何的または算術的意味は存在するか？

主な発見

• マーラー測度 $m(1+x_1+x_2+x_3+x_4)$ は、$\frac{4}{5}m(1+x_1+x_2+x_3)$ に加え、重さ4の有理型モジュラー形式の二重L値の線形結合に等しい。
• 主たる結果は、$m(1+x_1+x_2+x_3+x_4) - \frac{4}{5}m(1+x_1+x_2+x_3) = \frac{3\sqrt{5}\Omega_{15}^2}{20\pi}L(g_3,g_1,3,1) - \frac{3\sqrt{5}}{10\pi^3\Omega_{15}^2}L(g_2,g_1,3,1)$ であり、ここで $\Omega_{15}$ は $\mathbb{Q}(\sqrt{-15})$ のチャウラ＝セレブール周期である。
• 数値的評価により、公式が妥当であることが確認された：$L(g_2,g_1,3,1) \approx -0.4466$ および $L(g_3,g_1,3,1) \approx 8.5383$ であり、理論的表現と整合的である。
• 正則形式 $g_1$ に対して $m(1+x_1+x_2+x_3) = -\frac{1}{2}L(g_1,1)$ が成り立ち、三変数マーラー測度が直接 $L$-値と関連づけられる。
• 二重L値は虚軸に沿った反復積分により定義され、$s \to \infty$ のとき $g_j(is)$ が指数的に減衰するため収束する。$s=0$ 近傍では有界であり、上半平面における極にもかかわらず成立する。
• アトキン＝レーナー対合を用いて $f_2(-1/12z)$ を変換し、Eisenstein級数に表現することで、積分を正確に評価する手法が成功した。