[論文レビュー] Linear Matrix Inequality Representation of Sets

J. William Helton, Victor Vinnikov|ArXiv.org|Jun 11, 2003

Matrix Theory and Algorithms被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、ℝ² 内の閉凸集合が線形行列不等式（LMI）によって表現可能であるための必要十分条件として、境界の実零多項式構造を持つ剛性凸性（rigid convexity）を同定する。著者らは、2次元において剛性凸性がLMI表現可能性の必要十分条件であることを証明し、パリロとシュトゥルムフェルズが提起した形式的問題を解決するとともに、制御理論および最適化における半定値計画法の応用の基盤的特徴付けを提供する。

ABSTRACT

This article concerns the question: which subsets of ${\mathbb R}^m$ can be represented with Linear Matrix Inequalities, LMIs? This gives some perspective on the scope and limitations of one of the most powerful techniques commonly used in control theory. Also before having much hope of representing engineering problems as LMIs by automatic methods one needs a good idea of which problems can and cannot be represented by LMIs. Little is currently known about such problems. In this article we give a necessary condition, we call "rigid convexity", which must hold for a set ${\cC} \in {\mathbb R}^m$ in order for ${\cC}$ to have an LMI representation. Rigid convexity is proved to be necessary and sufficient when $m=2$. This settles a question formally stated by Pablo Parrilo and Berndt Sturmfels in [PSprep].

研究の動機と目的

• ℝᵐ 内の閉凸集合が線形行列不等式（LMI）によって表現可能である条件を特定すること。LMIは制御理論および最適化分野の主要なツールである。
• どの幾何的制約がLMIに変換可能であるかを系統立てた基準が不足しているという問題に取り組むこと。
• 2次元の場合におけるLMI表現可能な集合の完全な特徴付けを提供すること。
• LMI表現可能性の必要十分条件としての「剛性凸性」の概念を導入し、厳密に定義すること。
• 多項式レベル集合の代数的・幾何的・位相的性質とそのLMI表現可能性との関係を結びつけること。

提案手法

• すべての x ∈ ℝᵐ に対して p(μx) = 0 ならば μ が実数であるような多項式を実零（RZ）多項式と定義し、これにより行列ペンシルの固有値特性と関連付ける。
• 線形行列ペンシル L₀ + L₁x₁ + ⋯ + Lₘxₘ の行列式を、RZ多項式の標準的出力源とみなす。
• ℝ² 内の集合 ℂ がLMI表現可能であるための必要十分条件として、実零多項式によって定義される超曲面の内部の連結成分の閉包であることを確立する。
• Nuijの連結性結果を含む射影幾何学および位相的道具を用いて、実代数的超曲面の構造を分析する。
• RZ多項式の零集合の位相的構造を、次数に応じて、互いに内包するオーバルイドの直積と、可能性として擬似平面（pseudo-hyperplane）の直積として特徴付ける。
• 超曲面の内部が ℝᵐ と交差する際、無限遠平面が内部と交差するかどうかに応じて、その内部が凸であるか、または2つの凸成分に分解されることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℝ² 内のどの部分集合が線形行列不等式の解集合として表現可能であるか？
• RQ2 凸集合がLMI表現可能であるために満たすべき代数的または幾何的条件は何か？
• RQ3 2次元におけるLMI表現可能な集合の完全な特徴付けは存在するか？
• RQ4 境界多項式の位相的および代数的性質は、LMI表現可能性とどのように関係するか？
• RQ5 剛性凸性の概念は、制御系におけるLMIベースの最適化の限界を特定するのに利用可能か？

主な発見

• ℝ² 内の閉凸集合 ℂ がLMI表現可能であるための必要十分条件は、その境界が実零（RZ）多項式によって定義されること、すなわち剛性凸性であることである。
• 2次元において剛性凸性はLMI表現可能性の必要十分条件であり、m = 2 の場合にパリロとシュトゥルムフェルズが提起した問題を完全に解決する。
• 実零多項式の零集合の内部は、ℝ² と交差する際、無限遠平面が内部と交差するかどうかに応じて、凸であるか、または2つの凸成分に分解される。
• 正定値定数項を有する線形行列ペンシルの行列式は、常に実零多項式であるため、このような集合の標準的構成が可能である。
• 実零多項式のクラスは積および因数分解に関して閉じており、射影空間におけるその零集合は明確に理解された位相的構造を持つ。
• この結果は、1958年のラクス予想（hyperbolic polynomials に関する）にも影響を及ぼし、ルイス、パリロ、ラマナによるその予想の肯定的解決に用いられた。