[論文レビュー] Linear multi-step schemes for BSDEs

Jean-François Chassagneux|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2013

Numerical methods for differential equations参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、安定性の性質と切り捨て誤差解析を活用して、任意の収束次数を持つ線形多段法を、後向き stochastic 微分方程式（BSDEs）の解法に提案する。常微分方程式（ODEs）における高次法（例：アダムス、ニストロム、ミルン）を一般の拡散係数およびZ依存のドライバを有するBSDEsに拡張し、時間離散化におけるモーメント一致を用いることで、収束次数mまで達成可能な収束レートを証明する。

ABSTRACT

We study the convergence rate of a class of linear multi-step methods for BSDEs. We show that, under a sufficient condition on the coefficients, the schemes enjoy a fundamental stability property. Coupling this result to an analysis of the truncation error allows us to design approximation with arbitrary order of convergence. Contrary to the analysis performed in \cite{zhazha10}, we consider general diffusion model and BSDEs with driver depending on $z$. The class of methods we consider contains well known methods from the ODE framework as Nystrom, Milne or Adams methods. We also study a class of Predictor-Correctot methods based on Adams methods. Finally, we provide a numerical illustration of the convergence of some methods.

研究の動機と目的

• Euler型手法を超える高次数値スキームの開発、収束速度の制限を是正する。
• 古典的線形多段法（例：アダムス、ミルン、ニストロム）を、一般の拡散係数およびZ依存ドライバを有するBSDEsの確率的設定に拡張する。
• 後向きSDEsの文脈において安定性および切り捨て誤差解析を通じて収束の理論的基盤を確立する。
• アダムススキームに基づく予測子・修正子法を設計し、BSDE近似における精度および安定性を向上させる。
• 滑らかさおよびリプシッツ条件の下で厳密な収束解析を提供し、時間刻みおよびモーメント一致次数に依存する明示的な誤差境界を提示する。

提案手法

• r段初期化を伴う後向き再帰を用いて、係数$ a_j, b_{i,j}, \alpha_j, \beta_{i,j} $が事前整合性および有界性条件を満たす線形多段スキームのクラスを定式化する。
• フィルトレーション$ \mathcal{F}_{t_{i+j}} $に適応する確率的重み$ H^{Y}_{i,j}, H^{f}_{i,j} $を導入し、条件付き期待値がゼロでかつ2次モーメントが有界であることを保証する。
• 時刻グリッド$ \pi $上に、$ X_t $の前向き過程を近似する離散マルコフ過程$ \widehat{W}^{x,0}_{t} $を構築し、モーメントを次数$ K $まで一致させる。
• 条件付き期待値を用いてスキームの予測子および修正子ステップを定義する：$ Y_i = \mathbb{E}_{t_i}[\sum a_j Y_{i+j} + h \sum b_{i,j} f(Y_{i+j}, Z_{i+j})] $ および $ Z_i $ についても同様に定義する。
• 正確な解$ (Y_t, Z_t) $と離散スキーム$ (\widehat{Y}_i, \widehat{Z}_i) $との間の摂動解析を適用し、誤差を時間離散化誤差および空間離散化誤差の2つに分解する。
• ウィーナー増分$ W^{0,t_i}_{t_{i+j}} $とその離散対応物$ \widehat{W}^{0,t_i}_{t_{i+j}} $の間のモーメント一致を用いて、空間離散化誤差を次数$ K $まで制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ODEsにおける線形多段法を、一般の拡散係数およびZ依存ドライバを有するBSDEsに適応可能か。また、高次収束を維持できるか。
• RQ2 リプシッツ仮定の下で、線形多段スキームの収束を保証する安定性条件は何か。
• RQ3 時間離散化におけるモーメント一致次数が、スキームのグローバル収束レートに与える影響は何か。
• RQ4 提案スキームにおける時間離散化誤差と空間離散化誤差の相互作用は何か。
• RQ5 アダムス法に基づく予測子・修正子型変種は、BSDE近似においてより高い精度および安定性を達成できるか。

主な発見

• 提案された線形多段スキームは、モーメント一致次数$ K $が$ K = 2m + 1 $を満たす限り、任意の収束次数$ m $を達成する。
• 係数に関する十分な条件が満たされれば、スキームは基本的な安定性性質を示し、収束解析が可能になる。
• 時間離散化誤差は次数$ m $であり、空間離散化誤差は$ C|\pi|^{(K-1)/2} $で有界であるため、グローバル誤差境界は$ |\widetilde{Y}_0 - \widehat{Y}_0| \leq C|\pi|^m + C|\pi|^{(K-1)/2} $となる。
• $ K = 2m + 1 $のとき、グローバル誤差は次数$ m $で収束し、スキームが任意の所望の収束次数を達成可能であることが確認される。
• 本手法は、アダムス、ニストロム、ミルンといった有名なODEスキームを特別な場合として含み、それらの適用範囲をBSDEsに拡張する。
• 数値的実験により理論的収束レートが確認され、提案スキームの高次性能が妥当であることが裏付けられる。