[論文レビュー] Linear Network Coding, Linear Index Coding and Representable Discrete Polymatroids

Vijayvaradharaj T. Muralidharan, B. Sundar Rajan|NOT FOUND REPOSITORY (Indian Institute of Science Bangalore)|Jun 5, 2013

Cooperative Communication and Network Coding参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有限体 𝔽_q 上で線形分数ネットワークコーディング解が存在するための必要十分条件を示すことで、線形ネットワークコーディング、線形インデックスコーディング、および表せる離散多重多様体（discrete polymatroid）を統一する枠組みを確立している。具体的には、あるネットワークに対して線形分数ネットワークコーディング解が 𝔽_q 上に存在するための必要十分条件は、そのネットワークが 𝔽_q 上で表せる離散多重多様体に関して離散多重多様体的（discrete polymatroidal）であることである。さらに、El Rouayheb らの結果を一般化し、離散多重多様体の表現を求める問題が、それに対応する離散多重多様体から導かれる完全な線形インデックスコーディング問題に還元可能であることを示している。

ABSTRACT

Discrete polymatroids are the multi-set analogue of matroids. In this paper, we explore the connections among linear network coding, linear index coding and representable discrete polymatroids. We consider vector linear solutions of networks over a field $\mathbb{F}_q,$ with possibly different message and edge vector dimensions, which are referred to as linear fractional solutions. We define a extit{discrete polymatroidal} network and show that a linear fractional solution over a field $\mathbb{F}_q,$ exists for a network if and only if the network is discrete polymatroidal with respect to a discrete polymatroid representable over $\mathbb{F}_q.$ An algorithm to construct networks starting from certain class of discrete polymatroids is provided. Every representation over $\mathbb{F}_q$ for the discrete polymatroid, results in a linear fractional solution over $\mathbb{F}_q$ for the constructed network. Next, we consider the index coding problem and show that a linear solution to an index coding problem exists if and only if there exists a representable discrete polymatroid satisfying certain conditions which are determined by the index coding problem considered. El Rouayheb et. al. showed that the problem of finding a multi-linear representation for a matroid can be reduced to finding a extit{perfect linear index coding solution} for an index coding problem obtained from that matroid. We generalize the result of El Rouayheb et. al. by showing that the problem of finding a representation for a discrete polymatroid can be reduced to finding a perfect linear index coding solution for an index coding problem obtained from that discrete polymatroid.

研究の動機と目的

• 有限体上での線形分数ネットワークコーディング解と表せる離散多重多様体との間の正式な関係を確立すること。
• マトロイド表現およびインデックスコーディングに関する既存の結果を、離散多重多様体の枠組みに拡張することで一般化すること。
• 線形分数解を許容するネットワークを、表せる離散多重多様体から構成するための構成的メソッドを提供すること。
• インデックスコーディング問題に対する線形解の存在が、特定のランク関数条件を満たす表せる離散多重多様体の存在と同値であることを示すこと。
• 共通の代数的・組合せ的構造を通じて、ネットワークコーディング、インデックスコーディング、および離散多重多様体の表可能性の理論的基盤を統合すること。

提案手法

• ネットワークのルーティングおよびコーディング制約が、𝔽_q 上で表せる離散多重多様体のランク関数に対応するネットワークを離散多重多様体的ネットワークと定義すること。
• 与えられた表せる離散多重多様体からネットワークを生成する構成手順を導入し、その多重多様体の 𝔽_q 上のすべての表現が、生成されたネットワークに対して線形分数解を与えるようにすること。
• インデックスコーディング問題を、離散多重多様体の表現問題として定式化し、特定の離散多重多様体が 𝔽_q 上で表せる場合に限り、完全な線形インデックスコードが存在することを示すこと。
• 離散多重多様体のランク関数公理（R1–R3）を用いて、線形分数解の存在に必要な十分条件を導出すること。
• 構造的・代数的変換の系列を用いて、線形分数解の存在と関連する離散多重多様体の表可能性との同値性を証明すること。
• 既知のマトロイドの多重線形表現からインデックスコーディングへの還元を、離散多重多様体に一般化することで、El Rouayheb らの元の結果の適用範囲を拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体 𝔽_q 上で、線形分数ネットワークコーディング解が存在する条件は何か？
• RQ2 異なるメッセージおよびエッジのベクトル次元を持つネットワークコーディング問題の可解性を、離散多重多様体がどのように特徴づけられるか？
• RQ3 完全な線形インデックスコードの存在と離散多重多様体の表可能性との間の明確な関係は何か？
• RQ4 離散多重多様体からネットワークを構築する方法を体系的に形式化し、線形分数可解性を保証できるか？
• RQ5 離散多重多様体の枠組みは、マトロイド、ネットワークコーディング、インデックスコーディングの間の既知の関係をどの程度一般化するか？

主な発見

• 有限体 𝔽_q 上で線形分数解が存在するための必要十分条件は、ネットワークが 𝔽_q 上で表せる離散多重多様体に関して離散多重多様体的であることである。
• 表せる離散多重多様体から、その多重多様体の 𝔽_q 上のすべての表現が、生成されたネットワークに対して線形分数解を与えるようなネットワークを構成するアルゴリズムが提示されている。
• インデックスコーディング問題に対する線形解の存在は、受信者のサイドインフォーメーションおよび要求を反映したランク関数条件を満たす表せる離散多重多様体の存在と同値である。
• 離散多重多様体の表現を求める問題は、その多重多様体から導かれるインデックスコーディング問題に対する完全な線形インデックスコーディング解を求める問題に還元可能である。
• 定理1と定理7、および定理3と定理8の同値性は、ランク関数の操作と離散多重多様体の構造的分解を用いて正式に証明されている。
• 本稿は、El Rouayheb らの結果をマトロイドの多重線形表現から離散多重多様体の表現へ一般化し、インデックスコーディングと表可能性の関係の適用範囲を拡張している。