[論文レビュー] Linear nonlocal problem for the abstract time-dependent non-homogeneous Schrödinger equation

Dmytro Sytnyk, Roderick Melnik|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 23被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、抽象的時間依存非同次シュレーディンガー方程式に対する線形非局所時刻問題の、弱解および強解の適切性と存在に対する、厳密な必要十分条件を確立する。ドゥンフォード＝コーシー関数計算を用いることで、ストリップ型作用素に対する解作用素の正確な表現を得ており、非局所パラメータの有界性条件を非有界な場合にまで一般化し、2点および3点条件における許容可能なパラメータ多様体の解析的特徴付けを可能にする。

ABSTRACT

A nonlocal-in-time problem for the abstract Schrödinger equation is considered. By exploiting the linear nature of nonlocal condition we derive an exact representation of the solution operator under assumptions that the spectrum of Hamiltonian is contained in the horizontal strip of complex plane. The derived representation permits us to establish the necessary and sufficient conditions for the problem's well-posedness and the existence of its mild, strong solutions. Furthermore, we present new sufficient conditions for the existence of solution which extend the available results to the case when some nonlocal parameters are unbounded. Two examples are provided.

研究の動機と目的

• 抽象的時間依存非同次シュレーディンガー方程式に対する非局所時刻問題における弱解および強解の存在と一意性の必要十分条件を確立すること。
• 従来の十分条件（例：有界性条件 ∑|αk|e^{dt_k} ≤ 1）を、非局所パラメータが一様に有界である領域を超えて一般化すること。
• 関数計算および根の探索技術を用いて、2点および3点非局所条件における許容可能なパラメータ多様体の完全な解析的特徴付けを提供すること。
• 非自己共役ハミルトニアンを含む非局所シュレーディンガー問題の適用範囲を拡張し、開いた量子系における系-環境相互作用を記述する反自己共役部に対応させること。

提案手法

• 複素平面における水平ストリップにスペクトルを含むストリップ型作用素に対して、ドゥンフォード＝コーシー公式を用いて解作用素の正確な表現を導出する。
• 非局所条件 ψ(0) + ∑αkψ(tk) = ψ1 を線形系に変換することで、非局所問題を古典的コーシー問題に還元する。
• スペクトルパラメータを含む線形作用素の可逆性に基づき、適切性の必要十分条件を導出する関数計算の応用。
• シュール＝コーンアルゴリズムおよび根の探索技術を用いて、3点非局所条件における許容可能なパラメータ (α₁, α₂) の集合を特定する。
• コーシーの補題（例：補題1–3）を含む複素解析からの共形写像および推定を用いて、古典的有界性条件 ∑|αk|e^{dt_k} ≤ 1 を超える十分条件を導出する。
• 2つの具体的な例（2点および3点非局所条件）を用いて結果を検証し、提案された基準により明示的なパラメータ領域を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所時刻シュレーディンガー問題における弱解の存在および一意性の必要十分条件は何か？
• RQ2 古典的有界性条件 ∑|αk|e^{dt_k} ≤ 1 は、非有界な非局所パラメータを含むようにどのように一般化可能か？
• RQ3 2点および3点非局所条件における許容可能なパラメータ多様体の完全な解析的特徴付けは何か？
• RQ4 ドゥンフォード＝コーシー公式による解作用素表現は、自己共役でない場合に限らない非局所問題の正確な解析をどのように可能にするか？

主な発見

• 本稿では、非局所パラメータと解作用素から構成される線形作用素の可逆性に基づく、非局所問題の適切性の必要十分条件を導出する。
• t₁=1, t₂=2, d=π/40 である3点非局所条件では、(26)の2番目の不等式系によって示されるように、許容可能なパラメータ領域が非有界な集合にまで拡張されることを示している。これは、有界性条件 ∑|αk|e^{dt_k} ≤ 1 では捉えきれない。
• 定理3（シュール＝コーンアルゴリズム）により得られる許容可能なパラメータ領域は、古典的条件（5）による領域よりも著しく広く、後者はより小さい有界な平行四辺形領域として内部に含まれる。
• 本手法により、非有界な非局所パラメータを含む2点および3点非局所問題の許容可能なパラメータ全体の多様体の解析的記述が可能になる。
• 結果は非エルミートハミルトニアンに対しても有効であり、系-環境相互作用を記述する反エルミート部を持つ開いた量子系への適用範囲を拡張する。