[論文レビュー] Linear orbits of smooth plane curves

Paolo Aluffi, Carel Faber|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 1992

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 2被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、3×3行列の空間から平面曲線の射影空間への有理写像を繰り返しの吹上げにより解消することで、PGL(3)作用下での滑らかな平面曲線の軌道閉包の次数を計算する。主な結果は、曲線の次数と折り曲がり不変量に基づく軌道閉包の前次数の明示的公式であり、自己同型群や数え上げ幾何への応用を含む。一般の四次曲線の軌道閉包の次数は85である。

ABSTRACT

The group PGL(3) of linear transformations of the projective plane acts naturally on the projective space parametrizing curves of a given degree. In this note we begin the study of the orbits of smooth curves under this action: we construct a resolution of the closure of the orbit of a given curve, and we use it to compute its degree. This turns out to depend only on the degree of the curve, the order of its automorphism group, and on the number and type of its flexes. This paper will appear on the Journal of Algebraic Geometry.

研究の動機と目的

• 平面四次曲線の空間の一般のcodim-8部分空間から、種数3曲線のモジュライ空間への有理写像の次数を求める。
• PGL(3) → P^N をパラメトライズする有理写像を繰り返しの吹上げで解消し、軌道閉包の次数を計算する。
• 曲線の次数と折り曲がり構成に基づき、軌道閉包の前次数の明示的公式を導出する。
• これらの結果を用いて、滑らかな平面曲線の自己同型群や、8個の一般な点を通る平行移動の数を数える数え上げ幾何の研究に応用する。

提案手法

• 滑らかなCに対して滑らかであるP^2 × Cを出発点として、逐次的に基本被覆を吹上げることで、有理写像φ_C: P^8 → P^N の解消を構成する。
• 曲線Cと直線との接触の順序を用いて、必要な吹上げの数を特定する。例えば、一般の四次曲線では3回必要である。
• Aluffi (1992) の交差公式を適用し、解消空間上のハイパーハイパーラインクラスの8重自己交差を計算する（点条件に対応）。
• 吹上げの中心の正規束および交差環を抽出し、前次数を折り曲がり不変量の多項式として計算する。
• 前次数を、dと、折り曲がりの数と次数（特にハイパーフレックス（次数2）とそれ以上の次数）を符号化する4つの不変量の関数として表現する。
• 曲線のPGL(3)-安定化部分群の位数で前次数を割ることで、軌道閉包の次数を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 平面四次曲線の空間の一般のcodim-8部分空間から、種数3曲線のモジュライ空間への有理写像の次数は何か？
• RQ2 滑らかな平面曲線の軌道閉包の前次数は、その折り曲がり構成と次数にどのように依存するか？
• RQ3 これらの公式が、与えられた次数の滑らかな平面曲線の自己同型群の位数に課す制約は何か？
• RQ4 吹上げを用いたPGL(3)作用の幾何的解消により、軌道閉包の次数はどのように計算できるか？
• RQ5 軌道閉包の次数は、8個の一般な点を通る平行移動の数といった、数え上げ的情報をどのように提供するか？

主な発見

• 単純な折り曲がりのみをもつ滑らかな平面四次曲線に対して、その軌道閉包の前次数は14,280であり、自己同型群の位数が168のとき、軌道閉包の次数は85である。
• 12個のハイパーフレックスと96個の自己同型をもつフェルマー四次曲線の軌道閉包の前次数は14,280 − 294×12 = 10,656であり、これにより軌道閉包の次数は111である。
• 168個の自己同型と24個の単純な折り曲がり（すべて単純）をもつクライン四次曲線に対して、軌道閉包の次数は14,280 / 168 = 85である。
• 単純な折り曲がりのみをもつ次数dの滑らかな平面曲線の自己同型群の位数の最小公倍数はP(d)を割る。P(3)=216、P(4)=14,280、など。
• d=5の場合、自己同型群位数の最小公倍数の上限は188,340であり、本稿は、特定の曲線に対してこの上限が達成可能である可能性を示唆している。
• 滑らかな平面曲線の次数dに対する前次数の公式は、dとさまざまな次数の折り曲がりの数にのみ依存し、特にハイパーフレックス（次数2）とそれ以上の次数の折り曲がりが重要である。明示的な表現は吹上げ幾何を用いて導出された。