[論文レビュー] Linear orderings of combinatorial cubes

Boris Bukh, Anish Sevekari|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ブール立方体 $[2]^n$ の任意の線形順序が、辞書式順序に一致する大きな部分立方体を含むことを確立している。より一般に、$[k]^n$ の任意の線形順序は、約 $rac{(k-1)!}{2( an 2)^k}$ 個の標準的順序のいずれかと一致する大きな部分立方体を含む。主な貢献は、組合せ的立方体に対するハイルズ＝ジーウォット型のラマヌジャン的結果であり、これは長大な列が、アフィン立方体上に支持される単調な部分列を含むことを示している。

ABSTRACT

We show that, for every linear ordering of $[2]^n$, there is a large subcube on which the ordering is lexicographic. We use this to deduce that every long sequence contains a long monotone subsequence supported on an affine cube. More generally, we prove an analogous result for linear orderings of $[k]^n$. We show that, for every such ordering, there is a large subcube on which the ordering agrees with one of approximately $\frac{(k-1)!}{2(\ln 2)^k}$ orderings.

研究の動機と目的

• インデックス集合に限定されない、アフィン立方体上に支持される単調部分列を要請することによって、エレミス＝ツェーゼルスキーの定理を拡張すること。
• 線形順序の $[2]^n$ に対するハイルズ＝ジーウォット型ラマヌジャン的結果を確立し、すべての線形順序が辞書式順序に一致する部分立方体を含むことを示すこと。
• この結果を任意の $k \geq 2$ に対する $[k]^n$ に一般化し、任意の線形順序が、有限個の標準的順序のいずれかと一致する大きな部分立方体を含むことを特定すること。
• これらの結果を応用して、任意の実数列において、インデックスがアフィン立方体をなす長大な単調部分列が存在することを導出すること。
• 次元に依存する部分立方体のサイズの定量的依存関係を検討し、特に、必要な要素数が二重指数関数的に増加すると予想される点を強調すること。

提案手法

• $d$-部分立方体を定義するための標準的パラメータ語を用い、$[k]^d$ への双対写像により一貫した同定を可能にする。
• 線形順序の $[k]^n$ における部分立方体への制限を、標準的双対写像を介して $[k]^d$ 上の線形順序として定義する。
• $m = 3^n$ とし、$[m]$ の色分けに基づいて $[2]^n$ の語のペアを色分けするグレゴリー＝ロスチャイルドの定理を適用し、単色配置を同定する。
• 両方のペア $(0,1)$ と $(1,0)$ を含む非比較可能な語の概念を導入し、射影下での像がアフィン立方体をなす集合を特定する。
• 帰納法と一様性の議論を用いて、2語が特定の方法で順序付けられている場合、それらの拡張も同じルールに従って順序付けられることを示す。
• $d$-部分立方体と標準的語の構造を活用し、高次元立方体上の既知のラマヌジャン的結果に問題を還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての長い列は、適切なアフィン $d$-立方体をインデックス集合とする単調部分列を含むか？
• RQ2 すべての $[2]^n$ の線形順序は、その順序が辞書式であるような大きな部分立方体を含むか？
• RQ3 $[k]^n$ に対して、有限個の標準的順序が存在し、すべての線形順序がそのいずれかと一致する大きな部分立方体を含むか？
• RQ4 エレミス＝ツェーゼルスキーの定理は、単調部分列が組合せ的立方体上に支持されることを要請することで強化可能か？
• RQ5 アフィン立方体設定において、必要な列長さの $d$ への最適な定量的依存関係は何か？

主な発見

• 任意の $d$ に対して、$m$ が存在し、$m$ 個の相異なる実数からなる任意の列は、適切なアフィン $d$-立方体をインデックス集合とする単調部分列を含む。
• すべての $[2]^n$ の線形順序は、$[2]^d$ の2つの線形順序のいずれかと一致する $d$-部分立方体を含む。
• $[k]^n$ に対して、すべての線形順序は、約 $rac{(k-1)!}{2( an 2)^k}$ 個の標準的順序のいずれかと一致する大きな部分立方体を含む。
• このような部分立方体の存在は、すべての長い列がアフィン立方体上に支持される単調部分列を含むことを示唆する。
• 定理1における $m$ の $d$ への依存関係はおそらく二重指数関数的であるが、本稿ではこの境界を最適化していない。
• 証明ではグレゴリー＝ロスチャイルドの定理を用いて単色の $2d$-部分立方体を同定し、その後、インデックス集合における単色のアフィン立方体を抽出する。