[論文レビュー] Linear perturbations of quaternionic metrics. II. The quaternionic-Kahler case

Sergey Alexandrov, Boris Pioline+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2008

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、超複素ケーラー多様体 M の線形変形を、そのハイパーケーラー円錐 S への変形と twistor 空間 Z_S 上の複素シンプレクティック同型写像、あるいは同値に Z_M 上の複素接触変換を介して関連付けることで、四元数ケーラー多様体の線形変形にツイスター法を拡張する。主な結果は、ツイスター空間上の正則データを用いた線形変形の体系的な符号化であり、これは弦理論のコンパクト化におけるハイパーマルチプレットmoduli空間に図示される。

ABSTRACT

We extend the twistor methods developed in our earlier work on linear deformations of hyperkahler manifolds [arXiv:0806.4620] to the case of quaternionic-Kahler manifolds. Via Swann's construction, deformations of a 4d-dimensional quaternionic-Kahler manifold $M$ are in one-to-one correspondence with deformations of its $4d+4$-dimensional hyperkahler cone $S$. The latter can be encoded in variations of the complex symplectomorphisms which relate different locally flat patches of the twistor space $Z_S$, with a suitable homogeneity condition that ensures that the hyperkahler cone property is preserved. Equivalently, we show that the deformations of $M$ can be encoded in variations of the complex contact transformations which relate different locally flat patches of the twistor space $Z_M$ of $M$, by-passing the Swann bundle and its twistor space. We specialize these general results to the case of quaternionic-Kahler metrics with $d+1$ commuting isometries, obtainable by the Legendre transform method, and linear deformations thereof. We illustrate our methods for the hypermultiplet moduli space in string theory compactifications at tree- and one-loop level.

研究の動機と目的

• ハイパーケーラー多様体から四元数ケーラー多様体へのツイスターに基づく変形理論を一般化すること。
• スワンの構成を介して、四元数ケーラー多様体 M とそのハイパーケーラー円錐 S 間の変形の対応を確立すること。
• スワンバンドルに依存せずに、元の多様体 M のツイスター空間 Z_M 上の複素接触変換を用いて、M の変形を直接符号化すること。
• レジェンドル変換法により構成された d+1 個の可換等長変換を有する四元数ケーラー計量にこの形式主義を適用すること。
• 弦理論のコンパクト化におけるハイパーマルチプレットmoduli空間の線形変形を、樹形および1ループレベルで図示すること。

提案手法

• スワンの構成を用いて、4d次元の四元数ケーラー多様体 M を、4d+4次元のハイパーケーラー円錐 S に関連付ける。
• ツイスター空間 Z_S の局所的に平坦な領域間の複素シンプレクティック同型写像の変動を用いて、S の変形を符号化する。この際、ハイパーケーラー円錐構造が保たれるようにする。
• これらのシンプレクティック同型写像に同調性条件を課すことにより、変形下でもハイパーケーラー円錐性が保たれることを保証する。
• 同値に、元の多様体 M のツイスター空間 Z_M 上の複素接触変換を用いて変形データを再表現し、スワンバンドルを避ける。
• レジェンドル変換法により得られる d+1 個の可換等長変換を有する計量に形式主義を適用する。
• 得られた枠組みを用いて、弦コンパクト化におけるハイパーマルチプレットmoduli空間の線形変形を、樹形および1ループレベルで分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハイパーケーラー多様体に用いられるツイスター法は、どのように四元数ケーラー設定に一般化できるか？
• RQ2 四元数ケーラー多様体とそのハイパーケーラー円錐の間の変形の正確な対応関係は何か？
• RQ3 四元数ケーラー多様体の変形は、スワンバンドルを参照せずに、そのツイスター空間自体に直接符号化可能か？
• RQ4 ハイパーケーラー円錐のツイスター空間上の複素シンプレクティック同型写像は、元の四元数ケーラー多様体の幾何にどのように関係するか？
• RQ5 この形式主義は、弦理論のコンパクト化におけるハイパーマルチプレットmoduli空間にどのように応用できるか？

主な発見

• 四元数ケーラー多様体 M の変形は、スワンの構成を介して、そのハイパーケーラー円錐 S の変形と一対一に対応する。
• S の変形は、ツイスター空間 Z_S の局所的に平坦な領域間の複素シンプレクティック同型写像の変動として符号化され、ハイパーケーラー円錐性が保たれるように同調性条件が課される。
• 同値に、M の変形はツイスター空間 Z_M 上の複素接触変換を用いて直接符号化可能であり、スワンバンドルおよびそのツイスター空間を避けることができる。
• この形式主義は、レジェンドル変換法により構成された d+1 個の可換等長変換を有する四元数ケーラー計量に特化して適用される。
• この枠組みは、弦理論のコンパクト化におけるハイパーマルチプレットmoduli空間の線形変形を、樹形および1ループレベルの両方でうまく記述する。
• 結果として、正則データを用いたツイスターに基づく線形変形のホロモーラルな記述が得られ、幾何的および物理的moduliの体系的解析が可能になる。