[論文レビュー] Linear Programming Heuristics for the Graph Isomorphism Problem

Reza Takapoui, Stephen Boyd|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、グラフ同型性問題（GIP）のための確率的線形計画法（LP）ヒューリスティクスを提案する。緩和されたLP定式化を用いて、一方のグラフをもう一方に写像する置換行列を特定する。スパarsity制約を組み込み、ADMMベースのソルバを用いることで、特に構造的グラフにおいて高い成功率を達成し、正確な手法が失敗する場合でもスケーラビリティと有効性を示す。

ABSTRACT

An isomorphism between two graphs is a bijection between their vertices that preserves the edges. We consider the problem of determining whether two finite undirected weighted graphs are isomorphic, and finding an isomorphism relating them if the answer is positive. In this paper we introduce effective probabilistic linear programming (LP) heuristics to solve the graph isomorphism problem. We motivate our heuristics by showing guarantees under some conditions, and present numerical experiments that show effectiveness of these heuristics in the general case.

研究の動機と目的

• グラフ同型性問題（GIP）の計算的課題に取り組む。これは、幅広い応用があるものの、多項式時間可解性が未解決のまま残っている。
• 大規模または複雑なグラフにおいても、正確な整数計画法アプローチを上回る実用的でスケーラブルなヒューリスティクスを開発する。
• 解行列にスパarsity制約を導入することで、LPベースの同型性検出の成功率を向上させる。
• ADMMベースのアルゴリズムが緩和されたLP問題を効率的に解くことの有効性を示し、立方時間計算量を有する。
• 多様なグラフファミリーにわたる実験的検証を行い、スパarsity制約が同型性検出の正確性を顕著に向上させることを示す。

提案手法

• グラフ同型性問題を、制約 $PA = \tilde{A}P$、$P\mathbf{1} = \mathbf{1}$、$P^T\mathbf{1} = \mathbf{1}$、および $P_{ij} \in \{0,1\}$ を満たすブール型LPとして定式化する。
• ブール制約を $0 \leq P_{ij} \leq 1$ に緩和することで、多項式時間で解ける標準的な線形計画問題（LP）に変換する。
• 解行列 $P$ の非ゼロ要素数を制限するスパarsity制約 $\mathcal{K}$ を導入し、置換行列への回復確率を向上させる。
• 交替方向乗数法（ADMM）を用いて制約付きLPを効率的に解き、1イテレーションあたり $O(n^3)$ の計算量を有する。
• 近似解を有効な置換行列に変換できるかどうかを確認するため、ハンガリアンアルゴリズムを用いたポリッシュステップを適用する。
• スペクトル同等性（同じ固有値）を事前フィルタとして用い、同型性が可能なペアのみを処理対象とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グラフ同型性問題の線形計画法緩和は、同型性を効果的に探索するヒューリスティクスとして有効に利用できるか？
• RQ2 解行列 $P$ にスパarsity制約を課すことにより、有効な置換行列への回復成功率はどのように向上するか？
• RQ3 大規模グラフに対して、提案されたADMMベースのソルバは内点法と比較してどの程度スケーラブルか？
• RQ4 どのグラフファミリーにおいて、LP緩和が置換行列に近く、スパarsityが最も効果を発揮するか？
• RQ5 特定の構造的条件下では、LP緩和が十分にタイトであり、GIPを正確に解けるか？

主な発見

• 著者らの仮定のもと、テストされたすべてのグラフに対してLP緩和（2）は実行可能であることが示され、多様なグラフファミリーに応用可能であることを示している。
• ランダムな Erdos-Renyi グラフ（R1N）では、スパarsity制約なしでも $n = 1000$ 頂点の場合でも100％の成功率を達成している。
• 3次正則なハイポハミルトンianグラフ（CHH）では、スパarsity制約により成功率が平均30％から82％に上昇し、$n = 550$ で最も顕著な改善が見られた。
• アフィン幾何グラフ（AG2）では、スパarsity制約により $n \leq 21$ の範囲で成功率が0％から100％に上昇したが、$n$ が大きくなると性能が低下した。
• ADMMベースのソルバは、グラフサイズの対数スケールでランタイムが線形に増加し、1イテレーションあたり $O(n^3)$ のコストを有し、ECOSなどの内点法と比較してはるかに優れたスケーラビリティを示した。
• Kronecker Eye Flip（KEF）および MZA グラフでは、スパarsity制約が成功率を顕著に向上させ、$n = 128$ 以上では KEF で100％の成功率を達成し、MZA では小規模なグラフで回復性能が向上した。