[論文レビュー] Linear-quadratic McKean-Vlasov stochastic control problems with random coefficients on finite and infinite horizon, and applications

Matteo Basei, Huyên Pham|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有限および無限の時間スケールにおける確率係数を有する線形二次 McKean-Vlasov ストキャスティック制御問題を解くために、新たなマルティングルールに基づく検証手法を開発する。連立されたリッカティ常微分方程式系と平均場型後向きストキャスティック微分方程式（MFBSDE）の解の存在および一意性を確立し、明示的な最適制御を導出し、抽出の途切れコストが増加するにつれて長期的な資源抽出が安定化することを示す。

ABSTRACT

We propose a simple and original approach for solving linear-quadratic mean-field stochastic control problems. We study both finite-horizon and infinite-horizon problems, and allow notably some coefficients to be stochastic. Our method is based on a suitable extension of the martingale formulation for verification theorems in control theory. The optimal control involves the solution to a system of Riccati ordinary differential equations and to a linear mean-field backward stochastic differential equation, existence and uniqueness conditions are provided for such a system. Finally, we illustrate our results through two applications with explicit solutions: the first one deals with a portfolio liquidation problem with trade crowding, and the second one considers an economic model of substitutable production goods.

研究の動機と目的

• 確率係数を有する線形二次平均場型確率的制御問題のための新しい検証手法の開発。
• 既存の結果を無限時間スケール問題へと拡張し、決定論的係数を超える確率的係数の許容。
• 解の導出に伴い生じるリッカティ常微分方程式系および平均場型後向き確率的微分方程式（MFBSDE）の解の存在および一意性条件の確立。
• ポートフォリオの早期売却における取引の混雑と、代替可能な枯渇性資源の生産という2つの経済的問題へのフレームワークの応用。
• 特に資源枯渇と代替性の文脈において、最適制御の長期的挙動の分析。

提案手法

• 確率係数を有する平均場型設定に適合させた弱マルティングルール最適性原理の適応。
• リッカティ常微分方程式と線形平均場型後向き確率的微分方程式（MFBSDE）を結びつける系の使用。
• マルティングルールの定式化を用いて最適性の検証定理を導出し、古典的手法を McKean-Vlasov 環境へと拡張。
• フィードバック形式での明示的最適制御の導出：$\alpha_t^* = K_\eta(X_t^* - \mathbb{E}[X_t^*]) + \Lambda_\varepsilon\mathbb{E}[X_t^*] + \text{additional terms involving } Y_t \text{ and } P_t^0$。
• 適切な可積分性および正定性条件の下で、リッカティ-MFBSDE 系の解の存在および一意性の確立。
• 解を用いて長期均衡挙動を導出し、平均定常な備蓄水準および無限時間スケールにおける平均抽出量の消滅を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルティングルール検証原理を、確率的係数を有する線形二次 McKean-Vlasov 制御問題に拡張する方法は何か？
• RQ2 連立リッカティ-MFBSDE 系の解の存在および一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 特に長期的備蓄水準および抽出レートの観点から、無限時間スケールにおける最適制御の挙動はいかなるものか？
• RQ4 間歇的コスト（パラメータ $\eta$）および製品の代替性（$\varepsilon$）が長期的備蓄水準に与える影響は何か？
• RQ5 取引の混雑を伴うポートフォリオの早期売却や枯渇性資源の抽出といった実用的応用に対して、明示的解を導出できるか？

主な発見

• 最適制御は、状態とその平均の線形フィードバックとして明示的に特徴づけられ、さらに平均場型後向き確率的微分方程式の解に依存する項を含む。
• 長期平均的備蓄水準 $\bar{x}_\infty$ は、代替性パラメータ $\varepsilon$ に依存せず、間歇的ペナルティ $\eta$ のみに依存する。
• $\bar{x}_\infty$ は $\eta$ の増加に伴い減少し、$\eta \to \infty$ のとき $x_0 - \bar{p}/c$ に近づく。ここで $\bar{p}$ は代替財の価格を表す。
• $cx_0 > \bar{p}$ である限り、長期平均的備蓄水準は正のままであり、正のホタリングレンタルのおかげで資源の持続可能性が保証される。
• 平均抽出レート $\mathbb{E}[\alpha_t^*]$ は $t \to \infty$ のときゼロに収束するため、長期的には抽出が停止することが示唆される。
• 仮定された可積分性および正定性条件の下で、リッカティ ODE と MFBSDE の連立系は一意な解を有し、制御問題の適切な定式化が保証される。